Soluciones Algebra Lineal y sus Aplicaciones - Linear Algebra and its Applications

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 3. Section 3.1 Solutions

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 2. Section 2.9 Solutions

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 2. Section 2.8 Solutions

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 2. Section 2.7 Solutions

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Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 2. Section 2.6 Solutions

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Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 2. Section 2.5 Solutions

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 2. Section 2.4 Solutions

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 2. Section 2.3 Solutions

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Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 2. Section 2.2 Solutions

Encuentre las inversas de las matrices en los ejercicios 1 a 4.

Get 2.2.1 exercise solution

Get 2.2.2 exercise solution

Get 2.2.3 exercise solution

Get 2.2.4 exercise solution

5. Utilice la inversa que encontró en el ejercicio 1 para resolver
el sistema
8x1 + 6x2 = 2
5x1 + 4x2 = 1
Get 2.2.5 exercise solution

6. Utilice la inversa que encontró en el ejercicio 3 para resolver el
sistema
7x1 + 3x2 =- 9
- 6x1 - 3x2 = 4
Get 2.2.6 exercise solution

a) Determine A 1 y utilícela para resolver las ecuaciones
Ax b1, Ax b2, Ax b3, Ax b4
b) Las cuatro ecuaciones del inciso a) se pueden resolver con el
mismo conjunto de operaciones de fila, ya que la matriz de
coeficientes es la misma en cada caso. Resuelva las cuatro
ecuaciones del inciso a) mediante la reducción por filas de la
matriz aumentada [A b1 b2 b3 b4].
Get 2.2.7 exercise solution

8. Suponga que P es invertible y A= PBP- 1. Determine B en
términos de A.
Get 2.2.8 exercise solution

En los ejercicios 9 y 10, marque cada enunciado como verdadero o
falso. Justifique sus respuestas.
9. a) Para que una matriz B sea la inversa de A, las ecuaciones
AB I y BA I deben ser verdaderas.
b) Si A y B son de n n e invertibles, entonces A 1B 1 es la
inversa de AB.

d) Si A es una matriz invertible de n n, entonces la ecuación
Ax b es consistente para toda b en n.
e) Toda matriz elemental es invertible.
Get 2.2.9 exercise solution

10. a) Si A es invertible, entonces las operaciones elementales
de fila que reducen A a la identidad In también reducen
A 1 a In.
b) Si A es invertible, entonces la inversa A 1 es A misma.
c) Un producto de matrices invertibles de n n es invertible,
y la inversa del producto es el producto de sus inversas en el
mismo orden.
d) Si A es una matriz de n n y Ax ej es consistente para
toda j H {1, 2,…, n}, entonces A es invertible. Nota: e1,…, en
representa las columnas de la matriz identidad.
e) Si A puede reducirse por filas a la matriz identidad, entonces
A debe ser invertible.
Get 2.2.10 exercise solution

11. Sea A una matriz invertible de n n, y sea B una matriz de
n p. Demuestre que la ecuación AX B tiene una solución
única A 1B.
Get 2.2.11 exercise solution

12. Utilice álgebra de matrices para demostrar que si A es invertible
y D satisface AD= I, entonces D= A- 1.
Get 2.2.12 exercise solution

13. Suponga que AB = AC, donde B y C son matrices de n x p y
A es invertible. Demuestre que B = C. ¿Esto es cierto, en general,
cuando A no es invertible?
Get 2.2.13 exercise solution

14. Suponga que (B -C)D= 0, donde B y C son matrices de
m n y D es invertible. Demuestre que B= C.
Get 2.2.14 exercise solution

15. Sea A una matriz invertible de n x n, y sea B una matriz de
n x p. Explique por qué A -1B se puede calcular por reducción
de filas:
Si [A B].. [I X], entonces X A- 1B.
Si A es mayor de 2 x 2, entonces la reducción por filas de
[A B] es mucho más rápida que calcular a A 1 y a A- 1B.
Get 2.2.15 exercise solution

16. Suponga que A y B son matrices de n x n, B es invertible y AB
es invertible. Demuestre que A es invertible. [Sugerencia: Considere
que C = AB, y despeje A en esta ecuación].
Get 2.2.16 exercise solution

17. Suponga que A, B y C son matrices invertibles de n x n.
Demuestre que ABC también es invertible al obtener una matriz
D tal que (ABC)D= I y D(ABC) = I.
Get 2.2.17 exercise solution

18. Resuelva la ecuación AB= BC para A, suponiendo que A, B
y C son matrices cuadradas y B es invertible.
Get 2.2.18 exercise solution

19. Si A, B y C son matrices invertibles n n, ¿la ecuación C- 1
(A X)B- 1 In tiene una solución, X? Si es así, encuéntrela.
Get 2.2.19 exercise solution

20. Suponga que A, B y X son matrices de n n con A, X y A- AX
invertibles, y suponga que
(A- AX) -1 = X -1B (3)
a) Explique por qué B es invertible.
b) Despeje X en la ecuación (3). Si se necesita invertir una matriz,
explique por qué esta matriz es invertible.
Get 2.2.20 exercise solution

21. Explique por qué las columnas de una matriz A de n n son
linealmente independientes cuando A es invertible.
Get 2.2.21 exercise solution

22. Explique por qué las columnas de una matriz A de n x n generan
a R n cuando A es invertible. [Sugerencia: Repase el
teorema 4 de la sección 1.4].
Get 2.2.22 exercise solution

23. Suponga que A es de n n y que la ecuación Ax 0 tiene
solamente la solución trivial. Explique por qué A tiene n columnas
pivote y es equivalente por filas a In. De acuerdo con
el teorema 7, esto indica que A debe ser invertible. (Este ejercicio
y el 24 se mencionarán en la sección 2.3).
Get 2.2.23 exercise solution

24. Suponga que para una matriz A de n n, la ecuación Ax b
tiene una solución para toda b en n. Explique por qué A debe
ser invertible. [Sugerencia: ¿A es equivalente por filas a In?]
Get 2.2.24 exercise solution

Los ejercicios 25 y 26 demuestran el teorema 4 para

25. Demuestre que si ad bc 0, entonces la ecuación Ax 0
tiene más de una solución. ¿Por qué esto implica que A no es invertible?
[Sugerencia: Primero, considere a b 0. Después,
si a y b no son ambas cero, considere el vector

Get 2.2.25 exercise solution

26. Demuestre que si ad - bc <> 0, la fórmula para A-1 1 funciona.
Get 2.2.26 exercise solution

Los ejercicios 27 y 28 demuestran casos especiales de los hechos
acerca de matrices elementales establecidos en el recuadro que sigue
al ejemplo 5. Aquí A es una matriz de 3 x 3 e I= I3. (Una demostración
general requeriría un poco más de notación).

27. Sea A una matriz de 3 x 3.
a) Use la ecuación (2) de la sección 2.1 para demostrar que
filai (A) filai (I ) A, para i 1, 2, 3.
b) Demuestre que si las filas 1 y 2 de A se intercambian, entonces
el resultado se puede escribir como EA, donde E
es una matriz elemental formada al intercambiar las filas 1
y 2 de I.
c) Demuestre que si la fila 3 de A se multiplica por 5, entonces
el resultado se puede escribir como EA, donde E se
forma al multiplicar la fila 3 de I por 5.
Get 2.2.27 exercise solution

28. Suponga que se remplaza la fila 2 de A por fila2 (A) 3 filai (A).
Demuestre que el resultado es EA, donde E se forma a partir de
I al remplazar fila2 (I) por fila2 (I) 3 fila1 (A).
Get 2.2.28 exercise solution

Encuentre las inversas de las matrices en los ejercicios 29 a 32, si
existen. Use el algoritmo presentado en esta sección.

Get 2.2.29 exercise solution

Get 2.2.30 exercise solution

Get 2.2.31 exercise solution

Get 2.2.32 exercise solution

33. Use el algoritmo de esta sección para encontrar las inversas de

Sea A la matriz de n n correspondiente, y sea B su inversa.
Infiera la forma de B, y después demuestre que AB = I.
Get 2.2.33 exercise solution

34. Repita la estrategia del ejercicio 33 para inferir la inversa B de

Demuestre que AB =I.
Get 2.2.34 exercise solution

Get 2.2.35 exercise solution

y tercera columnas de A- 1 sin calcular la primera columna.

Get 2.2.36 exercise solution

Construya una matriz C de 2 3 (por
prueba y error) usando sólo 1, 1 y 0 como entradas, de tal
forma que CA I2. Calcule AC y observe que AC I3.
Get 2.2.37 exercise solution

Construya una matriz D, de
4 2, usando solo 1 y 0 como entradas, de tal forma
que AD I2. ¿Es posible que CA I4 para alguna matriz C
de 4 2? ¿Por qué?
Get 2.2.38 exercise solution

una matriz de flexibilidad, con la flexibilidad medida en pulgadas
por libra. Suponga que se aplican fuerzas de 40, 50 y
30 lb sobre los puntos 1, 2 y 3, respectivamente, en la figura 1
del ejemplo 3. Encuentre las deflexiones correspondientes.
Get 2.2.39 exercise solution

40. [M] Encuentre la matriz de rigidez D 1 para la D del ejercicio
39. Liste las fuerzas que se necesitan para producir una
deflexión de .04 pulgadas en el punto 3, con deflexión cero en
los otros puntos.
Get 2.2.40 exercise solution

la matriz de flexibilidad para una viga elástica, como la del
ejemplo 3, con cuatro puntos en los que se aplican fuerzas.
Las unidades son centímetros por newton de fuerza. Las mediciones
en los cuatro puntos identifican deflexiones de .07,
.12, .16 y .12 cm. Determine las fuerzas presentes en los cuatro
puntos.
Get 2.2.41 exercise solution

42. [M] Con D como en el ejercicio 41, determine las fuerzas que
producen una deflexión de .22 cm en el segundo punto de la
viga, con deflexión cero en los otros tres puntos. ¿Cómo están
relacionadas la respuesta al problema y las entradas de D 1?
[Sugerencia: Primero conteste la pregunta para una deflexión
de 1 cm en el segundo punto].
Get 2.2.42 exercise solution

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 2. Section 2.1 Solutions

En los ejercicios 1 y 2, calcule cada suma o producto si la matriz
está definida. Si alguna expresión no está definida, explique por qué.
Sean

1. 2A, B 2A, AC, CD Get 2.1.1 exercise solution

2. A 3B, 2C 3E, DB, EC Get 2.1.2 exercise solution

En lo que resta de este conjunto de ejercicios y los que siguen, suponga
que todas las expresiones matriciales están definidas. Es decir,
los tamaños de las matrices y los vectores implicados “ajustan” de
manera correcta.

Get 2.1.3 exercise solution

Get 2.1.4 exercise solution

En los ejercicios 5 y 6 calcule el producto AB de dos maneras: a) con
la definición, donde Ab1 y Ab2 se calculan por separado, y b) por la
regla de la fila-columna para obtener AB.

Get 2.1.5 exercise solution

Get 2.1.6 exercise solution

7. Si A es una matriz de 5 3 y el producto AB es 5 7, ¿cuál es
el tamaño de B?

Get 2.1.7 exercise solution

8. ¿Cuántas filas tiene B si BC es una matriz de 5 4? Get 2.1.8 exercise solution

Get 2.1.9 exercise solution

Get 2.1.10 exercise solution

AD y DA. Explique cómo cambian las columnas o filas de A
cuando se multiplica por D por la derecha o por la izquierda.
Encuentre una matriz B de 3 3, que no sea la matriz identidad
o la matriz cero, tal que AB BA.

Get 2.1.11 exercise solution

Construya una matriz B de 2 2 tal
que AB sea igual a la matriz cero. Utilice para B dos diferentes
columnas no nulas (distintas de cero).
Get 2.1.12 exercise solution

13. Sean r1,…, rp vectores en n, y sea Q una matriz de m n.
Escriba la matriz [Qr1 Qrp] como un producto de dos
matrices (ninguna de ellas igual a la matriz identidad).
Get 2.1.13 exercise solution

14. Sea U la matriz de 3 2 de costos descrita en el ejemplo 6
de la sección 1.8. La primera columna de U lista los costos
por dólar de producción para elaborar el producto B, y la segunda
columna lista los costos por dólar de producción para
el artículo C. (Los costos están por categorías de materiales,
mano de obra y gastos indirectos). Sea q1 un vector en 2
que liste la producción (medida en dólares) de los productos B
y C manufacturados durante el primer trimestre del año, y
sean q2, q3 y q4 los vectores análogos que listan las cantidades
de productos B y C manufacturados en el segundo,
tercero y cuarto trimestres, respectivamente. Dé una descripción
económica de los datos en la matriz UQ, donde
Q {q1 q2 q3 q4}.
Los ejercicios 15 y 16 tratan de matrices arbitrarias A, B y C para
las cuales las sumas y los productos indicados están definidos.
Marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus
respuestas.
Get 2.1.14 exercise solution

15. a) Si A y B son matrices de 2 2 con columnas a1, a2 y b1, b2,
respectivamente, entonces AB [a1b1 a2b2].
b) Cada columna de AB es una combinación lineal de las columnas
de B usando los pesos de la columna correspondiente
de A.
c) AB AC A(B C)
d) AT BT (A B)T
e) La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto
de sus transpuestas en el mismo orden.
Get 2.1.15 exercise solution

16. a) La primera fila de AB es la primera fila de A multiplicada
por B por la derecha.
b) Si A y B son matrices de 3 3 y B [b1 b2 b3], entonces
AB [Ab1 Ab2 Ab3].
c) Si A es una matriz de n n, entonces (A2)T (AT)2
d) (ABC)T CTATBT
e) La transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma
de sus transpuestas.
Get 2.1.16 exercise solution

Get 2.1.17 exercise solution

18. Suponga que la tercera columna de B está conformada en su
totalidad por ceros. ¿Qué se puede decir acerca de la tercera
columna de AB?
Get 2.1.18 exercise solution

19. Suponga que la tercera columna de B es la suma de las dos primeras
columnas. ¿Qué se puede decir acerca de la tercera columna
de AB? ¿Por qué?
Get 2.1.19 exercise solution

20. Suponga que las dos primeras columnas de B, b1 y b2, son
guales. ¿Qué se puede decir acerca de las columnas de AB?
¿Por qué?
Get 2.1.20 exercise solution

21. Suponga que la última columna de AB está conformada en su
totalidad por ceros, pero B, por sí sola, no tiene columnas de
ceros. ¿Qué se puede decir acerca de las columnas de A?
Get 2.1.21 exercise solution

22. Demuestre que si las columnas de B son linealmente dependientes,
entonces también lo son las columnas de AB.
Get 2.1.22 exercise solution

23. Suponga que CA In (la matriz identidad de n n). Demuestre
que la ecuación Ax 0 tiene únicamente la solución trivial.
Explique por qué A no puede tener más columnas que filas.
Get 2.1.23 exercise solution

24. Suponga que A es una matriz de 3 n cuyas columnas generan
a 3. Explique cómo construir una matriz D de n 3
tal que AD I3.
Get 2.1.24 exercise solution

25. Suponga que A es una matriz de m n, y que existan las matrices
C y D de n m, tales que CA In y AD Im. Demuestre
que m n y C D. [Sugerencia: Piense en el producto
CAD]. Get 2.1.25 exercise solution

26. Suponga que AD Im (la matriz identidad de m m). Demuestre
que para toda b en m, la ecuación Ax b tiene una
solución. [Sugerencia: Piense en la ecuación ADb b]. Explique
por qué A no puede tener más filas que columnas.
En los ejercicios 27 y 28, considere los vectores en n como matrices
de n 1. Para u y v en n, el producto de matrices uTv es una
matriz de 1 1, que se llama producto escalar, o producto interno,
de u y v. Por lo general, se escribe como un único número real sin
corchetes. El producto de matrices uvT es una matriz de n n, que
se llama producto exterior de u y v. Los productos uTv y uvT se
presentarán más adelante en el libro. Get 2.1.26 exercise solution

Get 2.1.27 exercise solution

28. Si u y v están en n, ¿cómo se relacionan uTv y vTu? ¿Y cómo
se relacionan uvT y vuT? Get 2.1.28 exercise solution

29. Compruebe el teorema 2b) y 2c). Use la regla fila-columna.
La entrada (i, j) de A(B C) se puede escribir como
ai1(b1j c1j) ain(bnj cnj)

Get 2.1.29 exercise solution

30. Compruebe el teorema 2d). [Sugerencia: La entrada (i, j) en
(rai1)b1j (rain)bnj].
Get 2.1.30 exercise solution

31. Demuestre que ImA A, donde A es una matriz de m n.
Suponga que Imx x para toda x en Rm.
Get 2.1.31 exercise solution

32. Demuestre que AI A cuando A es una matriz de m n.
[Sugerencia: Use la definición (de columna) de AIn].
Get 2.1.32 exercise solution

33. Demuestre el teorema 3d). [Sugerencia: Considere la j-ésima
fila de (AB)T].
Get 2.1.33 exercise solution

34. Dé una fórmula para (ABx)T, donde x es un vector, y A y B son
matrices con los tamaños adecuados.
Get 2.1.34 exercise solution

35. [M] Lea la documentación de su programa de matrices y escriba
los comandos que producirían las siguientes matrices (sin introducir
cada entrada de la matriz).
a) Una matriz de 4 5 de ceros.
b) Una matriz de 5 3 de unos.
c) La matriz identidad de 5 5.
d) Una matriz diagonal de 4 4, con entradas diagonales 3,
4, 2, 5.
Una forma útil de someter a prueba ideas nuevas o de hacer conjeturas
en álgebra de matrices es realizar cálculos con matrices seleccionadas
en forma aleatoria. La comprobación de una propiedad
para unas cuantas matrices no demuestra que la propiedad sea válida
en general, pero permite que la propiedad sea más creíble. Además,
es posible descubrir si una propiedad es falsa realizando unos cuantos
cálculos.
Get 2.1.35 exercise solution

36. [M] Escriba el comando o los comandos necesarios para crear
una matriz de 5 6 con entradas aleatorias. ¿Dentro de qué
rango de números se encuentran las entradas? Diga cómo crear
aleatoriamente una matriz de 4 4 con entradas enteras entre
9 y 9. [Sugerencia: Si x es un número aleatorio tal que
0 x 1, entonces 9.5 19(x .5) 9.5].
Get 2.1.36 exercise solution

37. [M] Construya matrices aleatorias A y B de 4 4, y compruebe
si AB BA. La mejor manera de hacer esto es calcular
AB BA y comprobar si esta diferencia es la matriz cero. Después
compruebe AB BA para tres pares más de matrices aleatorias
de 4 4. Escriba un informe de sus conclusiones.
Get 2.1.37 exercise solution

38. [M] Construya una matriz aleatoria A de 5 5 y compruebe
si (A I )(A I ) A2 I. La mejor manera de hacer esto es
calcular (A I)(A I) (A2 I), y verificar que esta diferencia
sea la matriz cero. Realícelo para tres matrices al azar.
Luego, someta a prueba (A B)(A B) A2 B2 de la misma
forma para tres pares de matrices aleatorias de 4 4. Escriba un
informe de sus conclusiones.
Get 2.1.38 exercise solution

39. [M] Use al menos tres pares de matrices aleatorias A y B de
4 4 para someter a prueba las igualdades (A B)T AT BT
y (AB)T BTAT, así como (AB)T ATBT (Véase el ejercicio 37).
Escriba un informe de sus conclusiones. [Nota: La mayoría de
los programas de matrices usan A para representar AT ].
Get 2.1.39 exercise solution

Get 2.1.40 exercise solution

Get 2.1.41 exercise solution