Get 1.4.1 exercise solution
Get 1.4.2 exercise solution
Get 1.4.3 exercise solution
Get 1.4.4 exercise solution
En los ejercicios 5 a 8, aplique la definición de Ax para escribir la ecuación matricial como una ecuación vectorial, o viceversa.
Get 1.4.5 exercise solution
Get 1.4.6 exercise solution
Get 1.4.7 exercise solution
Get 1.4.8 exercise solution
En los ejercicios 9 y 10, primero escriba el sistema como una ecuación vectorial y después como una ecuación matricial.
9. 5x1 + x2 - 3x3 = 8
2x2 + 4x3 = 0
Get 1.4.9 exercise solution
10. 4x1 - x2 = 8
5x1 + 3x2 = 2
3x1 - x2 = 1
Get 1.4.10 exercise solution
Considerando A y b en los ejercicios 11 y 12, escriba la matriz aumentada para el sistema lineal que corresponde a la ecuación matricial Ax = b. Después, resuelva el sistema y escriba la solución como
en R 3 generado por las columnas de A? (Véase la figura).
¿Por qué?
de R 3 generado por las columnas de A? ¿Por qué?
Get 1.4.11 exercise solution
Get 1.4.12 exercise solution
Get 1.4.13 exercise solution
Get 1.4.14 exercise solution
Get 1.4.15 exercise solution
Demuestre que la ecuación
Ax= b no tiene solución para todas las posibles b, y describa el conjunto de todas las b para las cuales Ax b sí tiene solución.
16. Repita el ejercicio 15 considerando
Get 1.4.16 exercise solution
Los ejercicios 17 a 20 se refieren a las matrices A y B que se presentan a continuación. Realice los cálculos pertinentes para justificar sus respuestas y mencione un teorema adecuado.
17. ¿Cuántas filas de A contienen una posición pivote? ¿La ecuación Ax= b tiene solución para cada b en R4? Get 1.4.17 exercise solution
18. ¿Cada vector en 4 se puede escribir como una combinación lineal de las columnas de la matriz B anterior? ¿Las columnas de B generan a R3? Get 1.4.18 exercise solution
19. ¿Todo vector en R4 se puede escribir como una combinación lineal de las columnas de la matriz A anterior? ¿Las columnas de A generan a R 4? Get 1.4.19 exercise solution
20. ¿Las columnas de B generan a R4? ¿La ecuación Bx y tiene solución para cada y en R4? Get 1.4.20 exercise solution
Get 1.4.21 exercise solution
Get 1.4.22 exercise solution
En los ejercicios 23 y 24, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
23. a) La ecuación Ax= b se reconoce como una ecuación vectorial.
b) Un vector b es una combinación lineal de las columnas de una matriz A si y solo si la ecuación Ax = b tiene al menos una solución.
c) La ecuación Ax b es consistente si la matriz aumentada [A b] tiene una posición pivote en cada fila.
d) La primera entrada en el producto Ax es una suma de productos.
e) Si las columnas de una matriz A de m x n generan a m, entonces la ecuación Ax= b es consistente para cada b en m.
f ) Si A es una matriz de mx n y si la ecuación Ax =b es inconsistente para alguna b en Rm, entonces A no puede tener una posición pivote en cada fila. Get 1.4.23 exercise solution
24. a) Cada ecuación matricial Ax= b corresponde a una ecuación vectorial con el mismo conjunto solución.
b) Si la ecuación Ax = b es consistente, entonces b está en el conjunto generado por las columnas de A.
c) Cualquier combinación lineal de vectores siempre se puede escribir en la forma Ax para una matriz A y un vector x adecuados.
d) Si la matriz coeficiente A tiene una posición pivote en cada fila, entonces la ecuación Ax = b es inconsistente.
e) El conjunto solución de un sistema lineal cuya matriz aumentada es [a1 a2 a3 b] coincide con el conjunto solución de Ax = b, si A = [a1 a2 a3].
f) Si A es una matriz de m x n cuyas columnas no generan a m, entonces la ecuación Ax = b es consistente para toda b en m. Get 1.4.24 exercise solution
25. Observe que
Con base en este hecho (sin realizar operaciones de fila), encuentre escalares c1, c2, c3 tales que
Get 1.4.25 exercise solution
Get 1.4.26 exercise solution
27. Rescriba la siguiente ecuación matricial (numérica) en forma simbólica como una ecuación vectorial, utilizando los símbolos v1, v2,… para los vectores y c1, c2,… para los escalares. Defina
qué representa cada símbolo, utilizando los datos presentados en la ecuación matricial.
Get 1.4.27 exercise solution
28. Considere que q1, q2, q3 y v son vectores en R5, mientras que x1, x2 y x3 denotan escalares. Escriba la siguiente ecuación vectorial como una ecuación matricial. Identifique cualquier símbolo
que utilice.
x1q1 + x2q2 + x3q3= v Get 1.4.28 exercise solution
29. Construya una matriz de 3 3, no en forma escalonada, cuyas columnas generen a R3. Demuestre que la matriz que construyó tiene la propiedad deseada. Get 1.4.29 exercise solution
30. Construya una matriz de 3 x 3, no en forma escalonada, cuyas columnas no generen a R 3. Demuestre que la matriz que construyó tiene la característica deseada. Get 1.4.30 exercise solution
31. Sea A una matriz de 3 x 2. Explique por qué la ecuación Ax =b no puede ser consistente para toda b en R 3. Generalice su argumento al caso de una A arbitraria con más filas que columnas. Get 1.4.31 exercise solution
32. ¿Un conjunto de tres vectores en 4 podría generar a 4?Explique su respuesta. ¿Y qué hay respecto de n vectores en m cuando n es menor que m? Get 1.4.32 exercise solution
33. Suponga que A es una matriz de 4 3, y b es un vector en 4 con la propiedad de que Ax b tiene una solución única. ¿Qué podría decir sobre la forma escalonada reducida de A?
Justifique su respuesta. Get 1.4.33 exercise solution
34. Considere que A es una matriz de 3 4, v1 y v2 son vectores en 3, y que w v1 v2. Suponga que v1 Au1 y v2 Au2 para algunos vectores u1 y u2 en 4. ¿Qué hecho permite concluir que el sistema Ax w es consistente? (Nota: u1 y u2 denotan vectores, y no entradas escalares de vectores). Get 1.4.34 exercise solution
35. Sean A una matriz de 5 3, y un vector en 3, y z un vector en 5. Suponga que Ay z. ¿Qué hecho permite concluir que el sistema Ax 5z es consistente? Get 1.4.35 exercise solution
36. Suponga que A es una matriz de 4 4 y b un vector en 4 tal que Ax b tiene una solución única. Explique por qué las columnas de A deben generar a 4. Get 1.4.36 exercise solution
[M] En los ejercicios 37 a 40, determine si las columnas de la matriz
generan a 4.
Get 1.4.37 exercise solution
Get 1.4.38 exercise solution
Get 1.4.39 exercise solution
Get 1.4.40 exercise solution
41. [M] Encuentre una columna de la matriz del ejercicio 39 que se pueda eliminar y, aun así, las restantes columnas de la matriz sigan generando a 4. Get 1.4.41 exercise solution
42. [M] Encuentre una columna de la matriz del ejercicio 40 que se pueda eliminar y, aun así, las restantes columnas sigan generando a 4. ¿Se puede eliminar más de una columna? Get 1.4.42 exercise solution
