Get 2.2.1 exercise solution
Get 2.2.2 exercise solution
Get 2.2.3 exercise solution
Get 2.2.4 exercise solution
5. Utilice la inversa que encontró en el ejercicio 1 para resolver
el sistema
8x1 + 6x2 = 2
5x1 + 4x2 = 1
Get 2.2.5 exercise solution
6. Utilice la inversa que encontró en el ejercicio 3 para resolver el
sistema
7x1 + 3x2 =- 9
- 6x1 - 3x2 = 4
Get 2.2.6 exercise solution
a) Determine A 1 y utilícela para resolver las ecuaciones
Ax b1, Ax b2, Ax b3, Ax b4
b) Las cuatro ecuaciones del inciso a) se pueden resolver con el
mismo conjunto de operaciones de fila, ya que la matriz de
coeficientes es la misma en cada caso. Resuelva las cuatro
ecuaciones del inciso a) mediante la reducción por filas de la
matriz aumentada [A b1 b2 b3 b4].
Get 2.2.7 exercise solution
8. Suponga que P es invertible y A= PBP- 1. Determine B en
términos de A.
Get 2.2.8 exercise solution
En los ejercicios 9 y 10, marque cada enunciado como verdadero o
falso. Justifique sus respuestas.
9. a) Para que una matriz B sea la inversa de A, las ecuaciones
AB I y BA I deben ser verdaderas.
b) Si A y B son de n n e invertibles, entonces A 1B 1 es la
inversa de AB.
d) Si A es una matriz invertible de n n, entonces la ecuación
Ax b es consistente para toda b en n.
e) Toda matriz elemental es invertible.
Get 2.2.9 exercise solution
10. a) Si A es invertible, entonces las operaciones elementales
de fila que reducen A a la identidad In también reducen
A 1 a In.
b) Si A es invertible, entonces la inversa A 1 es A misma.
c) Un producto de matrices invertibles de n n es invertible,
y la inversa del producto es el producto de sus inversas en el
mismo orden.
d) Si A es una matriz de n n y Ax ej es consistente para
toda j H {1, 2,…, n}, entonces A es invertible. Nota: e1,…, en
representa las columnas de la matriz identidad.
e) Si A puede reducirse por filas a la matriz identidad, entonces
A debe ser invertible.
Get 2.2.10 exercise solution
11. Sea A una matriz invertible de n n, y sea B una matriz de
n p. Demuestre que la ecuación AX B tiene una solución
única A 1B.
Get 2.2.11 exercise solution
12. Utilice álgebra de matrices para demostrar que si A es invertible
y D satisface AD= I, entonces D= A- 1.
Get 2.2.12 exercise solution
13. Suponga que AB = AC, donde B y C son matrices de n x p y
A es invertible. Demuestre que B = C. ¿Esto es cierto, en general,
cuando A no es invertible?
Get 2.2.13 exercise solution
14. Suponga que (B -C)D= 0, donde B y C son matrices de
m n y D es invertible. Demuestre que B= C.
Get 2.2.14 exercise solution
15. Sea A una matriz invertible de n x n, y sea B una matriz de
n x p. Explique por qué A -1B se puede calcular por reducción
de filas:
Si [A B].. [I X], entonces X A- 1B.
Si A es mayor de 2 x 2, entonces la reducción por filas de
[A B] es mucho más rápida que calcular a A 1 y a A- 1B.
Get 2.2.15 exercise solution
16. Suponga que A y B son matrices de n x n, B es invertible y AB
es invertible. Demuestre que A es invertible. [Sugerencia: Considere
que C = AB, y despeje A en esta ecuación].
Get 2.2.16 exercise solution
17. Suponga que A, B y C son matrices invertibles de n x n.
Demuestre que ABC también es invertible al obtener una matriz
D tal que (ABC)D= I y D(ABC) = I.
Get 2.2.17 exercise solution
18. Resuelva la ecuación AB= BC para A, suponiendo que A, B
y C son matrices cuadradas y B es invertible.
Get 2.2.18 exercise solution
19. Si A, B y C son matrices invertibles n n, ¿la ecuación C- 1
(A X)B- 1 In tiene una solución, X? Si es así, encuéntrela.
Get 2.2.19 exercise solution
20. Suponga que A, B y X son matrices de n n con A, X y A- AX
invertibles, y suponga que
(A- AX) -1 = X -1B (3)
a) Explique por qué B es invertible.
b) Despeje X en la ecuación (3). Si se necesita invertir una matriz,
explique por qué esta matriz es invertible.
Get 2.2.20 exercise solution
21. Explique por qué las columnas de una matriz A de n n son
linealmente independientes cuando A es invertible.
Get 2.2.21 exercise solution
22. Explique por qué las columnas de una matriz A de n x n generan
a R n cuando A es invertible. [Sugerencia: Repase el
teorema 4 de la sección 1.4].
Get 2.2.22 exercise solution
23. Suponga que A es de n n y que la ecuación Ax 0 tiene
solamente la solución trivial. Explique por qué A tiene n columnas
pivote y es equivalente por filas a In. De acuerdo con
el teorema 7, esto indica que A debe ser invertible. (Este ejercicio
y el 24 se mencionarán en la sección 2.3).
Get 2.2.23 exercise solution
24. Suponga que para una matriz A de n n, la ecuación Ax b
tiene una solución para toda b en n. Explique por qué A debe
ser invertible. [Sugerencia: ¿A es equivalente por filas a In?]
Get 2.2.24 exercise solution
Los ejercicios 25 y 26 demuestran el teorema 4 para
25. Demuestre que si ad bc 0, entonces la ecuación Ax 0
tiene más de una solución. ¿Por qué esto implica que A no es invertible?
[Sugerencia: Primero, considere a b 0. Después,
si a y b no son ambas cero, considere el vector
Get 2.2.25 exercise solution
26. Demuestre que si ad - bc <> 0, la fórmula para A-1 1 funciona.
Get 2.2.26 exercise solution
Los ejercicios 27 y 28 demuestran casos especiales de los hechos
acerca de matrices elementales establecidos en el recuadro que sigue
al ejemplo 5. Aquí A es una matriz de 3 x 3 e I= I3. (Una demostración
general requeriría un poco más de notación).
27. Sea A una matriz de 3 x 3.
a) Use la ecuación (2) de la sección 2.1 para demostrar que
filai (A) filai (I ) A, para i 1, 2, 3.
b) Demuestre que si las filas 1 y 2 de A se intercambian, entonces
el resultado se puede escribir como EA, donde E
es una matriz elemental formada al intercambiar las filas 1
y 2 de I.
c) Demuestre que si la fila 3 de A se multiplica por 5, entonces
el resultado se puede escribir como EA, donde E se
forma al multiplicar la fila 3 de I por 5.
Get 2.2.27 exercise solution
28. Suponga que se remplaza la fila 2 de A por fila2 (A) 3 filai (A).
Demuestre que el resultado es EA, donde E se forma a partir de
I al remplazar fila2 (I) por fila2 (I) 3 fila1 (A).
Get 2.2.28 exercise solution
Encuentre las inversas de las matrices en los ejercicios 29 a 32, si
existen. Use el algoritmo presentado en esta sección.
Get 2.2.29 exercise solution
Get 2.2.30 exercise solution
Get 2.2.31 exercise solution
Get 2.2.32 exercise solution
33. Use el algoritmo de esta sección para encontrar las inversas de
Sea A la matriz de n n correspondiente, y sea B su inversa.
Infiera la forma de B, y después demuestre que AB = I.
Get 2.2.33 exercise solution
34. Repita la estrategia del ejercicio 33 para inferir la inversa B de
Demuestre que AB =I.
Get 2.2.34 exercise solution
Get 2.2.35 exercise solution
y tercera columnas de A- 1 sin calcular la primera columna.
Get 2.2.36 exercise solution
Construya una matriz C de 2 3 (por
prueba y error) usando sólo 1, 1 y 0 como entradas, de tal
forma que CA I2. Calcule AC y observe que AC I3.
Get 2.2.37 exercise solution
Construya una matriz D, de
4 2, usando solo 1 y 0 como entradas, de tal forma
que AD I2. ¿Es posible que CA I4 para alguna matriz C
de 4 2? ¿Por qué?
Get 2.2.38 exercise solution
una matriz de flexibilidad, con la flexibilidad medida en pulgadas
por libra. Suponga que se aplican fuerzas de 40, 50 y
30 lb sobre los puntos 1, 2 y 3, respectivamente, en la figura 1
del ejemplo 3. Encuentre las deflexiones correspondientes.
Get 2.2.39 exercise solution
40. [M] Encuentre la matriz de rigidez D 1 para la D del ejercicio
39. Liste las fuerzas que se necesitan para producir una
deflexión de .04 pulgadas en el punto 3, con deflexión cero en
los otros puntos.
Get 2.2.40 exercise solution
la matriz de flexibilidad para una viga elástica, como la del
ejemplo 3, con cuatro puntos en los que se aplican fuerzas.
Las unidades son centímetros por newton de fuerza. Las mediciones
en los cuatro puntos identifican deflexiones de .07,
.12, .16 y .12 cm. Determine las fuerzas presentes en los cuatro
puntos.
Get 2.2.41 exercise solution
42. [M] Con D como en el ejercicio 41, determine las fuerzas que
producen una deflexión de .22 cm en el segundo punto de la
viga, con deflexión cero en los otros tres puntos. ¿Cómo están
relacionadas la respuesta al problema y las entradas de D 1?
[Sugerencia: Primero conteste la pregunta para una deflexión
de 1 cm en el segundo punto].
Get 2.2.42 exercise solution
