Get 1.8.1 exercise solution
Get 1.8.2 exercise solution
En los ejercicios 3 a 6, con T definida por T(x) Ax, encuentre un vector x cuya imagen bajo T sea b, y analice si x es único.
Get 1.8.4 exercise solution
Get 1.8.5 exercise solution
Get 1.8.6 exercise solution
7. Sea A una matriz de 6 x 5. ¿Qué valores de a y b permiten definir T : R a --> R b mediante T(x) = Ax? Get 1.8.7 exercise solution
8. ¿Cuántas filas y columnas debe tener una matriz A para poder definir un mapeo de R 5 a R 7 con la regla T(x) = Ax? Get 1.8.8 exercise solution
Para los ejercicios 9 y 10, encuentre todos los vectores x en R 4 queson mapeados en el vector cero por la transformación x --> Ax para la matriz A dada.
Get 1.8.9 exercise solution
Get 1.8.10 exercise solution
el rango de la transformación lineal x --> Ax? ¿Por qué? Get 1.8.12 exercise solution
En los ejercicios 13 a 16, utilice un sistema de coordenadas rectangulares para graficar
la transformación T dada. (Elabore un esquema grande y separado para cada ejercicio). Describa geométricamente lo que hace T a cada vector x en R2.
Get 1.8.13 exercise solution
Get 1.8.16 exercise solution
de que T es lineal, encuentre las imágenes bajo T de 2u, 3v y 2u + 3v. Get 1.8.17 exercise solution
18. La figura muestra los vectores u, v y w, junto con las imágenes T(u) y T(v) bajo la acción de una transformación lineal T : R2 --> R 2. Copie esta figura cuidadosamente, y dibuje la imagen de T(w) con la mayor exactitud posible. [Sugerencia: Primero, escriba w como una combinación lineal de u y v.]
una transformación lineal que mapea x en x1v1 + x2v2. Encuentre una matriz A tal que T(x) sea Ax para cada x. Get 1.8.20 exercise solution
En los ejercicios 21 y 22, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
21. a) Una transformación lineal es un tipo especial de función.
b) Si A es una matriz de 3 x 5, y T es una transformación definida por T(x) =Ax, entonces el dominio de T es R3.
c) Si A es una matriz de m x n, entonces el rango de la transformación x -->Ax es Rm.
d) Cada transformación lineal es una transformación matricial.
e) Una transformación T es lineal si y solo si T(c1v1 c2v2) = c1T(v1) c2T(v2) para cualesquiera v1 y v2 en el dominio de T y para todos los escalares c1 y c2. Get 1.8.21 exercise solution
22. a) El rango de la transformación x --> Ax es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de A.
b) Cada transformación matricial es una transformación lineal.
c) Si T : n S m es una transformación lineal y si c está en m, entonces una pregunta de unicidad es: “¿Está c en el rango de T ?”.
d) Una transformación lineal preserva las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar.
e) Una transformación lineal T : R n --> Rm siempre mapea el origen de n al origen de m. Get 1.8.22 exercise solution
23. Defina f : R-->R por f (x) mx + b.
a) Demuestre que f es una transformación lineal cuando b = 0.
b) Encuentre una propiedad de una transformación lineal que
se viole cuando b <> 0.
c) ¿Por qué f se llama una función lineal? Get 1.8.23 exercise solution
24. Una transformación afín T : Rn --> R m tiene la forma T(x) =Ax+ b, donde A es una matriz de m x n y b está en R m. Demuestre que T no es una transformación lineal cuando b <> 0. (Las transformaciones afines son importantes en los gráficos generados por computadora). Get 1.8.24 exercise solution
25. Dados v <> 0 y p en R n, la recta que pasa por p en la dirección de v tiene la ecuación paramétrica x + p = tv. Demuestre que una transformación lineal T : n S n mapea esta recta sobre otra recta o sobre un solo punto (una recta degenerada). Get 1.8.25 exercise solution
26. a) Demuestre que la recta que pasa por los vectores p y q en R n se puede escribir en la forma paramétrica x = (1 - t)p tq. (Consulte la figura de los ejercicios 21 y 22 de la sección 1.5).
b) El segmento de recta de p a q es el conjunto de puntos de la forma (1 - t)p + tq para 0 <= t<= 1 (como que se muestra en la figura de abajo). Demuestre que una transformación lineal T mapea este segmento de recta sobre un segmento de recta o sobre un solo punto.
Get 1.8.26 exercise solution
27. Sean u y v vectores linealmente independientes en R3, y sea P el plano que pasa por u, v y 0. La ecuación paramétrica de P es x su tv (con s, t en ). Demuestre que una transformación lineal T : R 3 --> R 3 mapea P sobre un plano a través de 0, o sobre una recta que pasa por 0, o justo sobre el origen en R 3. ¿Qué se puede decir acerca de T(u) y T(v) para que la imagen del plano P sea un plano? Get 1.8.27 exercise solution
28. Sean u y v vectores en n. Es posible demostrar que el conjunto P de todos los puntos en el paralelogramo determinado por u y v tiene la forma au + bv, para 0 <0 a <= 1, 0<= b<= 1. Sea
T : R n --> R m una transformación lineal. Explique por qué la imagen, bajo la transformación T, de un punto en P está en el paralelogramo determinado por T(u) y T(v). Get 1.8.28 exercise solution
29. Sea T : 2 S 2 la transformación lineal que refleja cada punto a través del eje x2. Elabore dos esquemas semejantes a la figura 6, que ilustren las propiedades i y ii de una transformación lineal. Get 1.8.29 exercise solution
30. Suponga que los vectores v1,…, vp generan a n, y que T : Rn --> R n es una transformación lineal. Considere que T(vi) = 0 para i = 1,…, p. Demuestre que T es la transformación cero. Es decir, demuestre que si x es cualquier vector en R n, entonces T(x) = 0. Get 1.8.30 exercise solution
31. Sea T : Rn --> R m una transformación lineal, y sea {v1, v2, v3} un conjunto linealmente dependiente en Rn. Explique por qué el conjunto {T(v1), T(v2), T(v3)} es linealmente dependiente. Get 1.8.31 exercise solution
En los ejercicios 32 a 36, los vectores columna están escritos como filas, como x = (x1, x2), y T(x) se escribe como T(x1, x2).
32. Demuestre que la transformación T definida por T(x1, x2) =(x1 - 2 x2 , x1 - 4x2) no es lineal. Get 1.8.32 exercise solution
33. Demuestre que la transformación T definida por T(x1, x2) = (x1 - 2x2, x1 - 3, 2x1 - 5x2) no es lineal. Get 1.8.33 exercise solution
34. Sea T : R 3 --> R 3 la transformación que refleja a cada vector x = (x1, x2, x3) a través del plano x3 = 0 sobre T(x) = (x1, x2, x3).
Demuestre que T es una transformación lineal. [Para algunas ideas, véase el ejemplo 4]. Get 1.8.34 exercise solution
35. Sea T : R3 --> R3 la transformación que proyecta a cada vector x (x1, x2, x3) sobre el plano x2 = 0, de manera que T(x) =(x1, 0, x3). Demuestre que T es una transformación lineal. Get 1.8.35 exercise solution
36. Sea T : R n --> R m una transformación lineal. Suponga que {u, v} es un conjunto linealmente independiente, pero {T(u), T(v)} es un conjunto linealmente dependiente. Demuestre que T(x)= 0
tiene una solución no trivial. [Sugerencia: Considere el hecho de que c1T(u) + c2T(v) 0 para algunos pesos c1 y c2, sin que ambos sean iguales a cero]. Get 1.8.36 exercise solution
En los ejercicios 37 y 38, las matrices determinan una transformación lineal T. Encuentre todas las x tales que T(x) 0.
¿Está b en el rango de la transformación x --> Ax? Si es así, obtenga una x cuya imagen bajo la transformación sea b. Get 1.8.39 exercise solution
¿Está b en el rango de la transformación x -->Ax? Si así es, encuentre una x cuya imagen bajo la transformación sea b. Get 1.8.40 exercise solution
