En los ejercicios 1 a 10, suponga que T es una transformación lineal.
Encuentre la matriz estándar de T.
1. T : 2 S 4, T(e1) (3, 1, 3, 1) y T(e2) ( 5, 2, 0, 0), dondeEncuentre la matriz estándar de T.
e1 (1, 0) y e2 (0, 1). Get 1.9.1 exercise solution
2. T : 3 S 2, T(e1) (1, 4), T(e2) ( 2, 9) y T(e3) (3, 8),
donde e1, e2 y e3 son las columnas de la matriz identidad de
3 x 3. Get 1.9.2 exercise solution
3. T : 2 S 2 es una transformación de trasquilado vertical que
mapea e1 en e1 3e2, pero deja inalterado a e2. Get 1.9.3 exercise solution
4. T : 2 S 2 es una transformación de trasquilado horizontal
que no altera a e1 y mapea e2 en e2 2e1. Get 1.9.4 exercise solution
5. T : 2 S 2 hace girar a los puntos (en torno al origen) a través
de un ángulo de p 2 radianes (en sentido antihorario). Get 1.9.5 exercise solution
6. T : 2 S 2 hace girar a los puntos (en torno al origen) a través
de un ángulo de 3p 2 radianes (en el sentido horario). Get 1.9.6 exercise solution
7. T : 2 S 2 primero hace girar puntos a través de 3p 4 radianes
(en el sentido horario) y después los refleja a
través del eje horizontal x1. [Sugerencia: Considere que
T.1/ D . 1=p2; 1=p2/]. Get 1.9.7 exercise solution
8. T : 2 S 2 primero realiza una transformación de trasquilado
horizontal que transforma a e2 en e2 2e1 (dejando inalterado a
e1) y después refleja los puntos a través de la recta x2 x1. Get 1.9.8 exercise solution
9. T : 2 S 2 primero refleja los puntos a través del eje horizontal
x1 y luego los hace girar p 2 radianes. Get 1.9.9 exercise solution
10. T : 2 S 2 primero refleja los puntos a través del eje horizontal
x1 y luego los refleja a través de la recta x2 x1. Get 1.9.10 exercise solution
11. Una transformación lineal T : 2 S 2 primero refleja los puntos
a través del eje x1 y luego los refleja a través del eje x2.
Demuestre que T también se puede describir como una transformación
lineal que hace girar los puntos en torno al origen. ¿Cuál
es el ángulo de esa rotación? Get 1.9.11 exercise solution
12. Demuestre que la transformación del ejercicio 10 es meramente
una rotación en torno al origen. ¿Cuál es el ángulo de rotación? Get 1.9.12 exercise solution
13. Sea T : 2 S 2 la transformación lineal tal que T(e1) y T(e2)
son los vectores que se muestran en la figura. Con base en la
figura, dibuje el vector T(2, 1). Get 1.9.13 exercise solution
14. Sea T : 2 S 2 una transformación lineal con matriz estándar A [a1 a2], donde a1 y a2 se muestran en la figura, en la parte superior de la columna 2. Utilizando la figura, dibuje la imagen de
1
- 2
bajo la transformación T. Get 1.9.14 exercise solution
En los ejercicios 15 y 16, llene las entradas faltantes de la matriz,
suponiendo que la ecuación es válida para todos los valores de las
variables.
Get 1.9.15 exercise solution
Get 1.9.16 exercise solution
En los ejercicios 17 a 20, demuestre que T es una transformación lineal
encontrando una matriz que implemente el mapeo. Observe que
x1, x2,… no son vectores, sino entradas en vectores.
17. T(x1, x2, x3, x4) (x1 2x2, 0, 2x2 x4, x2 x4) Get 1.9.17 exercise solution
18. T(x1, x2) (x1 4x2, 0, x1 3x2, x1) Get 1.9.18 exercise solution
19. T(x1, x2, x3) (x1 5x2 4x3, x2 6x3)Get 1.9.19 exercise solution
20. T(x1, x2, x3, x4) 3x1 4x3 2x4 (Observe que: T : 4 S ) Get 1.9.20 exercise solution
21. Sea T : 2 S 2 una transformación lineal tal que T(x1, x2)
(x1 x2, 4x1 5x2). Encuentre x tal que T(x) (3, 8). Get 1.9.21 exercise solution
22. Sea T : 2 S 3 una transformación lineal con T(x1, x2)
(2x1 x2, 3x1 x2, 2x1 3x2). Encuentre x tal que
T(x) (0, 1, 4).
Get 1.9.22 exercise solution
En los ejercicios 23 y 24, marque cada enunciado como verdadero o
falso. Justifique sus respuestas.
23. a) Una transformación lineal T : n S m está completamente
determinada por sus efectos sobre las columnas de la matriz
identidad de n n.
b) Si T : 2 S 2 hace girar los vectores un ángulo w en torno
al origen, entonces T es una transformación lineal.
c) Cuando dos transformaciones lineales se realizan una tras
otra, el efecto combinado no siempre es una transformación
lineal.
d) Un mapeo T : n S m es sobre m si cada vector x en n
se mapea sobre algún vector en m.
e) Si A es una matriz de 3 2, entonces la transformación
x Ax no puede ser uno a uno. Get 1.9.23 exercise solution
24. a) Si A es una matriz de 4 3, entonces la transformación
x Ax mapea 3 sobre 4. b) Cada transformación lineal de n a m es una transformación
matricial.
c) Las columnas de la matriz estándar para una transformación
lineal de n a m son las imágenes de las columnas de la
matriz identidad de n n bajo T.
d) Un mapeo T : n S m es uno a uno si cada vector en n
se mapea sobre un único vector en m.
e) La matriz estándar de una transformación de trasquilado
horizontal de 2 a 2 tiene la forma
a 0
0 d
, donde a y b son +- 1. Get 1.9.24 exercise solution
En los ejercicios 25 a 28, determine si la transformación lineal especificada
es a) uno a uno o b) sobre. Justifique cada respuesta.
25. La transformación en el ejercicio 17. Get 1.9.25 exercise solution
26. La transformación en el ejercicio 2. Get 1.9.26 exercise solution
27. La transformación en el ejercicio 19. Get 1.9.27 exercise solution
28. La transformación en el ejercicio 14. Get 1.9.28 exercise solution
En los ejercicios 29 y 30, describa las posibles formas escalonadas
de la matriz estándar para una transformación lineal T. Utilice la notación
del ejemplo 1 de la sección 1.2
29. T : 3 S 4 es uno a uno. Get 1.9.29 exercise solution
30. T : 4 S 3 es sobre. Get 1.9.30 exercise solution
31. Sea T : n S m una transformación lineal, y sea A su matriz
estándar. Complete el siguiente enunciado para hacerlo verdadero:
“T es uno a uno si y solo si A tiene _____ columnas pivote”.
Explique por qué el enunciado es verdadero. [Sugerencia:
Consulte los ejercicios de la sección 1.7]. Get 1.9.31 exercise solution
32. Sea T : n S m una transformación lineal, y sea A su matriz
estándar. Complete el siguiente enunciado para hacerlo verdadero:
“T mapea n sobre m si y solo si A tiene _______ columnas
pivote”. Encuentre algunos teoremas que expliquen por
qué el enunciado es verdadero. Get 1.9.32 exercise solution
33. Verifique la unicidad de A en el teorema 10. Sea T : n S m
una transformación lineal tal que T(x) Bx para alguna matriz
B de m n. Demuestre que si A es la matriz estándar de T,
entonces A B. [Sugerencia: Demuestre que A y B tienen las
mismas columnas]. Get 1.9.33 exercise solution
34. Sean S : p S n y T : n S m transformaciones lineales.
Demuestre que el mapeo x T(S(x)) es una transformación
lineal (de p a m). [Sugerencia: Calcule T(S(cu dv)) para
u, v en p y escalares c y d. Justifique cada paso del cálculo,
y explique por qué este proceso conduce a la conclusión
deseada]. Get 1.9.34 exercise solution
35. Si una transformación lineal T : n S m mapea n sobre
m, ¿es posible encontrar una relación entre m y n? Si T es uno
a uno, ¿qué se puede decir acerca de m y n? Get 1.9.35 exercise solution
36. ¿Por qué la pregunta “¿La transformación lineal T es sobre?”
es una pregunta de existencia? Get 1.9.36 exercise solution
[M] En los ejercicios 37 a 40, sea T la transformación lineal cuya
matriz estándar se presenta. En los ejercicios 37 y 38, determine si
T es un mapeo uno a uno. En los ejercicios 39 y 40, determine si T
mapea 5 sobre 5. Justifique sus respuestas.
Get 1.9.37 exercise solution
Get 1.9.38 exercise solution
Get 1.9.39 exercise solution
Get 1.9.40 exercise solution
