1. 2x1 - 5x2 + 8x3 = 0
-2x1 - 7x2 + x3 = 0
4x1 + 2x2 + 7x3 = 0 Get 1.5.1 exercise solution
2. x1 - 2x2 + 3x3 = 0
-2x1 - 3x2 - 4x3 = 0
2x1 - 4x2 + 9x3 = 0 Get 1.5.2 exercise solution
3. -3x1 + 4x2 - 8x3 = 0
-2x1 + 5x2 + 4x3 = 0
4. 5x1 - 3x2 + 2x3 = 0
-3x1 - 4x2 + 2x3 = 0 Get 1.5.3 exercise solution
En los ejercicios 5 y 6, siga el método de los ejemplos 1 y 2 para escribirel c onjunto solución del sistema homogéneo en forma vectorial paramétrica.
5. 2x1 + 2x2 + 4x3 = 0
-4x1 - 4x2 - 8x3 = 0
- 3x2 - 3x3 = 0 Get 1.5.5 exercise solution
6. x1 + 2x2 - 3x3 = 0
2x1 + x2 - 3x3 = 0
-1x1 + x2 = 0 Get 1.5.6 exercise solution
En los ejercicios 7 a 12, describa todas las soluciones de Ax = 0 en forma vectorial paramétrica, donde A es equivalente por filas a la matriz dada.
Get 1.5.7 exercise solution
Get 1.5.8 exercise solution
Get 1.5.9 exercise solution
Get 1.5.10 exercise solution
Get 1.5.11 exercise solution
Get 1.5.12 exercise solution
13. Suponga que el conjunto solución de un cierto sistema de ecuaciones lineales se describe como x1 =5 +4x3, x2= - 2 - 7x3, con x3 libre. Use vectores para describir este conjunto como una recta en R3. Get 1.5.13 exercise solution
14. Suponga que el conjunto solución de un cierto sistema de ecuaciones lineales se describe como x1 = 5x4, x2 = 3 -2x4, x3 = 2 +5x4, con x4 libre. Utilice vectores para describir este conjunto como una “recta” en R4. Get 1.5.14 exercise solution
15. Describa y compare los conjuntos solución de x1 + 5x2- 3x3 = 0 y x1 + 5x2 -3x3 =- 2. Get 1.5.15 exercise solution
16. Describa y compare los conjuntos solución de x1 2x2 3x3 0 y x1 + 2x2+ 3x3 = 4. Get 1.5.16 exercise solution
17. Siga el método del ejemplo 3 para describir las soluciones del siguiente sistema en forma vectorial paramétrica. También, dé una descripción geométrica del conjunto solución y compárelo
con el que obtuvo en el ejercicio 5.
2x1 + 2x2 + 4x3 = 8
-4x1 - 4x2 - 8x3 = -16
- 3x2 - 3x3 = 12 Get 1.5.17 exercise solution
18. Como en el ejercicio 17, describa las soluciones del siguiente sistema en forma vectorial paramétrica, y realice una comparación geométrica con el conjunto solución del ejercicio 6.
x1 + 2x2 - 3x3 = 5
2x1 + x2 - 3x3 = 13
En los ejercicios 19 y 20, encuentre la ecuación paramétrica de la recta que pasa por a y es paralela a b.
Get 1.5.19 exercise solution
Get 1.5.20 exercise solution
En los ejercicios 21 y 22, obtenga una ecuación paramétrica de la recta M que pasa a través de p y q. [Sugerencia: M es paralela al vector q p. Véase la figura que aparece más abajo].
Get 1.5.21 exercise solution
Get 1.5.22 exercise solution
En los ejercicios 23 y 24, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
23. a) Una ecuación homogénea siempre es consistente.
b) La ecuación Ax =0 da una descripción explícita de su conjunto s olución.
c) La ecuación homogénea Ax =0 tiene la solución trivial si y solo si la ecuación tiene al menos una variable libre.
d) La ecuación x = p + tv describe una recta que pasa por v y es paralela a p.
e) El conjunto solución de Ax = b es el conjunto de todos losvectores de la forma w= p + vh, donde vh es cualquier solución de la ecuación Ax =0. Get 1.5.23 exercise solution
24. a) Un sistema homogéneo de ecuaciones puede ser inconsistente.
b) Si x es una solución no trivial de Ax = 0, entonces cada entrada en x es distinta de cero.
c) El efecto de sumar p a un vector es mover a dicho vector en una dirección paralela a p.
d) La ecuación Ax = b es homogénea si el vector cero es una solución.
e) Si Ax= b es consistente, entonces el conjunto solución de Ax b se obtiene por traslación del conjunto solución de Ax = 0. Get 1.5.24 exercise solution
25. Demuestre el teorema 6:
a) Suponga que p es una solución de Ax = b, de manera que Ap= b. Sea vh cualquier solución de la ecuación homogénea Ax = 0, y sea w = p+ vh. Demuestre que w es una solución de Ax = b.
b) Sea w cualquier solución de Ax= b, y defina vh = w- p.
Demuestre que vh es una solución de Ax =0. Esto demuestra que cada solución de Ax b tiene la forma w = p+ vh, donde p es una solución particular de Ax = b y vh una solución de Ax= 0. Get 1.5.25 exercise solution
26. Suponga que A es la matriz cero de 3x 3 (con cero en todas las entradas). Describa el conjunto solución de la ecuación Ax = 0. Get 1.5.26 exercise solution
27. Suponga que Ax = b tiene una solución. Explique por qué la solución es única precisamente cuando Ax = 0 tiene solo la solución trivial. Get 1.5.27 exercise solution
En los ejercicios 28 a 31, a) ¿la ecuación Ax = 0 tiene una solución no trivial? b) ¿La ecuación Ax= b tiene al menos una solución para toda posible b?
28. A es una matriz de 3 x 3 con tres posiciones pivote. Get 1.5.28 exercise solution
29. A es una matriz de 4 x 4 con tres posiciones pivote. Get 1.5.29 exercise solution
30. A es una matriz de 2 x 5 con dos posiciones pivote. Get 1.5.30 exercise solution
31. A es una matriz de 3 x 2 con dos posiciones pivote. Get 1.5.31 exercise solution
32. Si b <> 0, ¿el conjunto solución de Ax = b puede ser un plano que pasa por el origen? Explique su respuesta. Get 1.5.32 exercise solution
33. Construya una matriz A, diferente de cero, de 3 x3 tal que el vector
sea una solución de Ax =0. Get 1.5.33 exercise solution
34. Construya una matriz A, diferente de cero, de 3 3 tal que el vector
sea una solución de Ax =0. Get 1.5.34 exercise solution
Get 1.5.35 exercise solution
Get 1.5.36 exercise solution
37. Construya una matriz A de 2 x 2 tal que el conjunto solución de la ecuación Ax = 0 sea la recta en R 2 que pasa a través de (4, 1) y el origen. Luego, encuentre un vector b en R 2 tal que el conjunto solución de Ax =b no sea una recta en R2 paralela al conjunto solución de Ax =0. ¿Por qué esto no contradice al teorema 6? Get 1.5.37 exercise solution
38. Sean A una matriz de mx n, y w un vector en R n que satisface la ecuación Ax = 0. Demuestre que para cualquier escalar c, el vector cw también satisface Ax = 0. [Es decir, demuestre que A(cw) =0]. Get 1.5.38 exercise solution
39. Suponga que A es una matriz de m x n, y que v y w son vectores en Rn tales que Av = 0 y Aw = 0. Explique por qué A(v + w) debe ser el vector cero. Luego, explique por qué A(cv + dw) = 0 para cada par de escalares c y d. Get 1.5.39 exercise solution
40. Suponga que A es una matriz de 3 x 3 y b es un vector en R3 tales que la ecuación Ax= b no tiene solución. ¿Existe un vector y en R 3 tal que la ecuación Ax = y tiene una solución única? Justifique su respuesta. Get 1.5.40 exercise solution
