Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 1. Section 1.5 Solutions

En los ejercicios 1 a 4, determine si el sistema tiene una solución no trivial. Intente usar lo menos posible las operaciones de fila.
1. 2x1 - 5x2 + 8x3 = 0
-2x1 - 7x2 + x3 = 0
4x1 + 2x2 + 7x3 = 0 Get 1.5.1 exercise solution

2. x1 - 2x2 + 3x3 = 0
-2x1 - 3x2 - 4x3 = 0
2x1 - 4x2 + 9x3 = 0 Get 1.5.2 exercise solution

3. -3x1 + 4x2 - 8x3 = 0
-2x1 + 5x2 + 4x3 = 0
4. 5x1 - 3x2 + 2x3 = 0
-3x1 - 4x2 + 2x3 = 0 Get 1.5.3 exercise solution

En los ejercicios 5 y 6, siga el método de los ejemplos 1 y 2 para escribirel c onjunto solución del sistema homogéneo en forma vectorial paramétrica.

5. 2x1 + 2x2 + 4x3 = 0
-4x1 - 4x2 - 8x3 = 0
- 3x2 - 3x3 = 0 Get 1.5.5 exercise solution

6. x1 + 2x2 - 3x3 = 0
2x1 + x2 - 3x3 = 0
-1x1 + x2 = 0 Get 1.5.6 exercise solution


En los ejercicios 7 a 12, describa todas las soluciones de Ax = 0 en forma vectorial paramétrica, donde A es equivalente por filas a la matriz dada.


Get 1.5.7 exercise solution
Get 1.5.8 exercise solution
Get 1.5.9 exercise solution
Get 1.5.10 exercise solution
Get 1.5.11 exercise solution
Get 1.5.12 exercise solution

13. Suponga que el conjunto solución de un cierto sistema de ecuaciones lineales se describe como x1 =5 +4x3, x2= - 2 - 7x3, con x3 libre. Use vectores para describir este conjunto como una recta en R3. Get 1.5.13 exercise solution

14. Suponga que el conjunto solución de un cierto sistema de ecuaciones lineales se describe como x1 = 5x4, x2 = 3 -2x4, x3 = 2 +5x4, con x4 libre. Utilice vectores para describir este conjunto como una “recta” en R4. Get 1.5.14 exercise solution

15. Describa y compare los conjuntos solución de x1 + 5x2- 3x3 = 0 y x1 + 5x2 -3x3 =- 2. Get 1.5.15 exercise solution

16. Describa y compare los conjuntos solución de x1 2x2 3x3 0 y x1 + 2x2+ 3x3 = 4. Get 1.5.16 exercise solution

17. Siga el método del ejemplo 3 para describir las soluciones del siguiente sistema en forma vectorial paramétrica. También, dé una descripción geométrica del conjunto solución y compárelo
con el que obtuvo en el ejercicio 5.
2x1 + 2x2 + 4x3 = 8
-4x1 - 4x2 - 8x3 = -16
- 3x2 - 3x3 = 12 Get 1.5.17 exercise solution

18. Como en el ejercicio 17, describa las soluciones del siguiente sistema en forma vectorial paramétrica, y realice una comparación geométrica con el conjunto solución del ejercicio 6.

x1 + 2x2 - 3x3 = 5

2x1 + x2 - 3x3 = 13

-x1 + x2 = -8
Get 1.5.18 exercise solution

En los ejercicios 19 y 20, encuentre la ecuación paramétrica de la recta que pasa por a y es paralela a b.


Get 1.5.19 exercise solution
Get 1.5.20 exercise solution

En los ejercicios 21 y 22, obtenga una ecuación paramétrica de la recta M que pasa a través de p y q. [Sugerencia: M es paralela al vector q p. Véase la figura que aparece más abajo].

 
Get 1.5.21 exercise solution
Get 1.5.22 exercise solution


En los ejercicios 23 y 24, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.

23. a) Una ecuación homogénea siempre es consistente.
b) La ecuación Ax =0 da una descripción explícita de su conjunto s olución.
c) La ecuación homogénea Ax =0 tiene la solución trivial si y solo si la ecuación tiene al menos una variable libre.
d) La ecuación x = p + tv describe una recta que pasa por v y es paralela a p.
e) El conjunto solución de Ax = b es el conjunto de todos losvectores de la forma w= p + vh, donde vh es cualquier solución de la ecuación Ax =0. Get 1.5.23 exercise solution

24. a) Un sistema homogéneo de ecuaciones puede ser inconsistente.
b) Si x es una solución no trivial de Ax = 0, entonces cada entrada en x es distinta de cero.
c) El efecto de sumar p a un vector es mover a dicho vector en una dirección paralela a p.
d) La ecuación Ax = b es homogénea si el vector cero es una solución.
 e) Si Ax= b es consistente, entonces el conjunto solución de Ax b se obtiene por traslación del conjunto solución de Ax = 0. Get 1.5.24 exercise solution


25. Demuestre el teorema 6:
a) Suponga que p es una solución de Ax = b, de manera que Ap= b. Sea vh cualquier solución de la ecuación homogénea Ax = 0, y sea w = p+ vh. Demuestre que w es una solución de Ax = b.
b) Sea w cualquier solución de Ax= b, y defina vh = w- p.
Demuestre que vh es una solución de Ax =0. Esto demuestra que cada solución de Ax b tiene la forma w = p+ vh, donde p es una solución particular de Ax = b y vh una solución de Ax= 0. Get 1.5.25 exercise solution

26. Suponga que A es la matriz cero de 3x 3 (con cero en todas las entradas). Describa el conjunto solución de la ecuación Ax = 0. Get 1.5.26 exercise solution

27. Suponga que Ax = b tiene una solución. Explique por qué la solución es única precisamente cuando Ax = 0 tiene solo la solución trivial. Get 1.5.27 exercise solution

En los ejercicios 28 a 31, a) ¿la ecuación Ax = 0 tiene una solución no trivial? b) ¿La ecuación Ax= b tiene al menos una solución para toda posible b?

28. A es una matriz de 3 x 3 con tres posiciones pivote. Get 1.5.28 exercise solution

29. A es una matriz de 4 x 4 con tres posiciones pivote. Get 1.5.29 exercise solution

30. A es una matriz de 2 x 5 con dos posiciones pivote. Get 1.5.30 exercise solution

31. A es una matriz de 3 x 2 con dos posiciones pivote. Get 1.5.31 exercise solution

32. Si b <> 0, ¿el conjunto solución de Ax = b puede ser un plano que pasa por el origen? Explique su respuesta. Get 1.5.32 exercise solution

33. Construya una matriz A, diferente de cero, de 3 x3 tal que el vector 


sea una solución de Ax =0. Get 1.5.33 exercise solution


34. Construya una matriz A, diferente de cero, de 3 3 tal que el vector
 

sea una solución de Ax =0. Get 1.5.34 exercise solution











Get 1.5.35 exercise solution
Get 1.5.36 exercise solution

37. Construya una matriz A de 2 x 2 tal que el conjunto solución de la ecuación Ax = 0 sea la recta en R 2 que pasa a través de (4, 1) y el origen. Luego, encuentre un vector b en R 2 tal que el conjunto solución de Ax =b no sea una recta en R2 paralela al conjunto solución de Ax =0. ¿Por qué esto no contradice al teorema 6? Get 1.5.37 exercise solution

38. Sean A una matriz de mx n, y w un vector en R n que satisface la ecuación Ax = 0. Demuestre que para cualquier escalar c, el vector cw también satisface Ax = 0. [Es decir, demuestre que A(cw) =0]. Get 1.5.38 exercise solution

39. Suponga que A es una matriz de m x n, y que v y w son vectores en Rn tales que Av = 0 y Aw = 0. Explique por qué A(v + w) debe ser el vector cero. Luego, explique por qué A(cv + dw) = 0 para cada par de escalares c y d. Get 1.5.39 exercise solution

40. Suponga que A es una matriz de 3 x 3 y b es un vector en R3 tales que la ecuación Ax= b no tiene solución. ¿Existe un vector y en R 3 tal que la ecuación Ax = y tiene una solución única? Justifique su respuesta.  Get 1.5.40 exercise solution

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 1. Section 1.4 Solutions

En los ejercicios 1 a 4 calcule los productos utilizando: a) la definición,como en el ejemplo 1, y b) la regla fila-vector para calcular Ax. Si un producto está indefinido, explique por qué.




Get 1.4.1 exercise solution
Get 1.4.2 exercise solution
Get 1.4.3 exercise solution
Get 1.4.4 exercise solution

En los ejercicios 5 a 8, aplique la definición de Ax para escribir la ecuación matricial como una ecuación vectorial, o viceversa.



Get 1.4.5 exercise solution
Get 1.4.6 exercise solution
Get 1.4.7 exercise solution
Get 1.4.8 exercise solution


En los ejercicios 9 y 10, primero escriba el sistema como una ecuación vectorial y después como una ecuación matricial.


9. 5x1 + x2 - 3x3 = 8
2x2 + 4x3 = 0
Get 1.4.9 exercise solution


10. 4x1 - x2 = 8
5x1 + 3x2 = 2
3x1 - x2 = 1
Get 1.4.10 exercise solution

Considerando A y b en los ejercicios 11 y 12, escriba la matriz aumentada para el sistema lineal que corresponde a la ecuación matricial Ax = b. Después, resuelva el sistema y escriba la solución como

en R 3 generado por las columnas de A? (Véase la figura).
¿Por qué?

de R 3 generado por las columnas de A? ¿Por qué?
Get 1.4.11 exercise solution
Get 1.4.12 exercise solution
Get 1.4.13 exercise solution
Get 1.4.14 exercise solution


Get 1.4.15 exercise solution

Demuestre que la ecuación
Ax= b no tiene solución para todas las posibles b, y describa el conjunto de todas las b para las cuales Ax b sí tiene solución.

16. Repita el ejercicio 15 considerando

Get 1.4.16 exercise solution

Los ejercicios 17 a 20 se refieren a las matrices A y B que se presentan a continuación. Realice los cálculos pertinentes para justificar sus respuestas y mencione un teorema adecuado.




17. ¿Cuántas filas de A contienen una posición pivote? ¿La ecuación Ax= b tiene solución para cada b en R4? Get 1.4.17 exercise solution

18. ¿Cada vector en 4 se puede escribir como una combinación lineal de las columnas de la matriz B anterior? ¿Las columnas de B generan a R3? Get 1.4.18 exercise solution

19. ¿Todo vector en R4 se puede escribir como una combinación lineal de las columnas de la matriz A anterior? ¿Las columnas de A generan a R 4? Get 1.4.19 exercise solution

20. ¿Las columnas de B generan a R4? ¿La ecuación Bx y tiene solución para cada y en R4? Get 1.4.20 exercise solution



Get 1.4.21 exercise solution
Get 1.4.22 exercise solution


En los ejercicios 23 y 24, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.

23. a) La ecuación Ax= b se reconoce como una ecuación vectorial.
b) Un vector b es una combinación lineal de las columnas de una matriz A si y solo si la ecuación Ax = b tiene al menos una solución.
c) La ecuación Ax b es consistente si la matriz aumentada [A b] tiene una posición pivote en cada fila.
d) La primera entrada en el producto Ax es una suma de productos.
e) Si las columnas de una matriz A de m x n generan a m, entonces la ecuación Ax= b es consistente para cada b en m.
f ) Si A es una matriz de mx n y si la ecuación Ax =b es inconsistente para alguna b en Rm, entonces A no puede tener una posición pivote en cada fila. Get 1.4.23 exercise solution

24. a) Cada ecuación matricial Ax= b corresponde a una ecuación vectorial con el mismo conjunto solución.
b) Si la ecuación Ax = b es consistente, entonces b está en el conjunto generado por las columnas de A.
c) Cualquier combinación lineal de vectores siempre se puede escribir en la forma Ax para una matriz A y un vector x adecuados.
d) Si la matriz coeficiente A tiene una posición pivote en cada fila, entonces la ecuación Ax = b es inconsistente.
e) El conjunto solución de un sistema lineal cuya matriz aumentada es [a1 a2 a3 b] coincide con el conjunto solución de Ax = b, si A = [a1 a2 a3].
f) Si A es una matriz de m x n cuyas columnas no generan a m, entonces la ecuación Ax = b es consistente para toda b en m. Get 1.4.24 exercise solution


25. Observe que



Con base en este hecho (sin realizar operaciones de fila), encuentre escalares c1, c2, c3 tales que
 
Get 1.4.25 exercise solution


Get 1.4.26 exercise solution

27. Rescriba la siguiente ecuación matricial (numérica) en forma simbólica como una ecuación vectorial, utilizando los símbolos v1, v2,… para los vectores y c1, c2,… para los escalares. Defina
qué representa cada símbolo, utilizando los datos presentados en la ecuación matricial.

Get 1.4.27 exercise solution

28. Considere que q1, q2, q3 y v son vectores en R5, mientras que x1, x2 y x3 denotan escalares. Escriba la siguiente ecuación vectorial como una ecuación matricial. Identifique cualquier símbolo
que utilice.
x1q1 + x2q2 + x3q3= v  Get 1.4.28 exercise solution

29. Construya una matriz de 3 3, no en forma escalonada, cuyas columnas generen a R3. Demuestre que la matriz que construyó tiene la propiedad deseada. Get 1.4.29 exercise solution

30. Construya una matriz de 3 x 3, no en forma escalonada, cuyas columnas no generen a R 3. Demuestre que la matriz que construyó tiene la característica deseada. Get 1.4.30 exercise solution

31. Sea A una matriz de 3 x 2. Explique por qué la ecuación Ax =b no puede ser consistente para toda b en R 3. Generalice su argumento al caso de una A arbitraria con más filas que columnas. Get 1.4.31 exercise solution


32. ¿Un conjunto de tres vectores en 4 podría generar a 4?Explique su respuesta. ¿Y qué hay respecto de n vectores en m cuando n es menor que m? Get 1.4.32 exercise solution

33. Suponga que A es una matriz de 4 3, y b es un vector en 4 con la propiedad de que Ax b tiene una solución única. ¿Qué podría decir sobre la forma escalonada reducida de A?
Justifique su respuesta. Get 1.4.33 exercise solution

34. Considere que A es una matriz de 3 4, v1 y v2 son vectores en 3, y que w v1 v2. Suponga que v1 Au1 y v2 Au2 para algunos vectores u1 y u2 en 4. ¿Qué hecho permite concluir que el sistema Ax w es consistente? (Nota: u1 y u2 denotan vectores, y no entradas escalares de vectores). Get 1.4.34 exercise solution

35. Sean A una matriz de 5 3, y un vector en 3, y z un vector en 5. Suponga que Ay z. ¿Qué hecho permite concluir que el sistema Ax 5z es consistente? Get 1.4.35 exercise solution

36. Suponga que A es una matriz de 4 4 y b un vector en 4 tal que Ax b tiene una solución única. Explique por qué las columnas de A deben generar a 4.  Get 1.4.36 exercise solution

[M] En los ejercicios 37 a 40, determine si las columnas de la matriz
generan a 4.


Get 1.4.37 exercise solution
Get 1.4.38 exercise solution
Get 1.4.39 exercise solution
Get 1.4.40 exercise solution


41. [M] Encuentre una columna de la matriz del ejercicio 39 que se pueda eliminar y, aun así, las restantes columnas de la matriz sigan generando a 4. Get 1.4.41 exercise solution

42. [M] Encuentre una columna de la matriz del ejercicio 40 que se pueda eliminar y, aun así, las restantes columnas sigan generando a 4. ¿Se puede eliminar más de una columna? Get 1.4.42 exercise solution

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 1. Section 1.1 Solutions

En los ejercicios 1 a 4 resuelva cada sistema utilizando operaciones elementales de fila sobre las ecuaciones o sobre la matriz aumentada. Siga el procedimiento de eliminación sistemático explicado en esta sección.

Get 1.1.1 exercise solution
Get 1.1.2 exercise solution


3. Encuentre el punto (x1, x2) que pertenece tanto a la recta x1 + 2x2 4 como a la recta x1 x2 1. Observe la figura. Get 1.1.3 exercise solution

4. Obtenga el punto de intersección de las rectas x1 + 2x2=- 13 y 3x1 - 2x2 = 1. Get 1.1.4 exercise solution



En los ejercicios 5 y 6 considere que cada matriz es la matriz aumentada
de un sistema lineal. Exprese con palabras las siguientes dos operaciones elementales de fila que deben realizarse para resolver el sistema.

Get 1.1.5 exercise solution
Get 1.1.6 exercise solution
En los ejercicios 7 a 10, la matriz aumentada de un sistema lineal se redujo mediante operaciones de fila a la forma indicada. En cada caso, continúe con las operaciones adecuadas de fila y describa el
conjunto solución del sistema original.

Get 1.1.7 exercise solution
Get 1.1.8 exercise solution
Get 1.1.9 exercise solution
Get 1.1.10 exercise solution

En los ejercicios 11 a 14 resuelva los sistemas.

 

Get 1.1.11 exercise solution
Get 1.1.12 exercise solution
Get 1.1.13 exercise solution
Get 1.1.14 exercise solution

En los ejercicios 15 y 16 determine si los sistemas son consistentes.
No resuelva por completo dichos sistemas.
Get 1.1.15 exercise solution
Get 1.1.16 exercise solution

17. ¿Las tres rectas 2x1 + 3x2 = -1, 6x1 + 5x2 = 0, y 2x1 - 5x2 = 7 tienen un punto común de intersección? Explique su respuesta. Get 1.1.17 exercise solution

18. Diga si los tres planos 2x1 + 4x2 + 4x3 = 4, x2 - 2x3 = -2, y 2x1 + 3x2 = 0 tienen al menos un punto común de intersección. Explique su respuesta. Get 1.1.18 exercise solution

En los ejercicios 19 a 22, determine el valor o los valores de h tales que la matriz sea la matriz aumentada de un sistema lineal consistente.

Get 1.1.19 exercise solution
Get 1.1.20 exercise solution
Get 1.1.21 exercise solution
Get 1.1.22 exercise solution


 En los ejercicios 23 y 24, se citan enunciados clave de esta sección, con ligeras modificaciones (pero manteniendo su validez), o se alteraron de manera que, en algunos casos, son falsos. Marque cada enunciado como verdadero o falso, y justifique su respuesta. (Si el enunciado es verdadero, entonces indique la ubicación aproximada donde se presenta un enunciado similar, o haga referencia a una definición o un teorema. Si la afirmación es falsa, indique la ubicación de un enunciado que se haya citado o empleado incorrectamente, o cite un ejemplo que muestre la falsedad del enunciado en todos
los casos). Preguntas similares de falso/verdadero se presentarán en muchas secciones del libro.


23. a) Todas las operaciones elementales de fila son reversibles.
b) Una matriz de 5 6 tiene seis filas.
c) El conjunto solución de un sistema lineal que incluye a las variables x1,…, xn es una lista de números (s1,…, sn) que da validez a cada ecuación del sistema cuando se sustituyen los valores s1,…, sn por x1,…, xn, respectivamente.
d) Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema lineal
incluyen existencia y unicidad. Get 1.1.23 exercise solution

24. a) Dos matrices son equivalentes por filas si tienen el mismo número de filas.
b) En una matriz aumentada, las operaciones elementales de fila no modifican nunca el conjunto solución del sistema lineal asociado.
c) Dos sistemas lineales equivalentes pueden tener diferentes conjuntos solución.
d) Un sistema consistente de ecuaciones lineales tiene una o más soluciones.  Get 1.1.24 exercise solution

25. Encuentre una ecuación que incluya a g, h y k, y que permita que esta matriz aumentada corresponda a un sistema consistente:

Get 1.1.25 exercise solution
 
26. Suponga que el sistema que aparece a continuación es consistente para todos los posibles valores de f y g. ¿Qué puede decirse acerca de los coeficientes c y d? Justifique su respuesta.

Get 1.1.26 exercise solution

27. Suponga que a, b, c y d son constantes tales que a es diferente de cero y el sistema que aparece a continuación es consistente para todos los posibles valores de f y g. ¿Qué podría decir acerca de los números a, b, c y d? Justifique su respuesta.

Get 1.1.27 exercise solution

28. Construya tres diferentes matrices aumentadas para los sistemas lineales cuyo conjunto solución es x1 = 3, x2=- 2, x3 =- 1. Get 1.1.28 exercise solution

En los ejercicios 29 a 32, encuentre la operación elemental de fila que transforme a la primera matriz en la segunda, y luego encuentre la operación de fila inversa que transforme a la segunda matriz en la
primera.

Get 1.1.29 exercise solution
Get 1.1.30 exercise solution
Get 1.1.32 exercise solution
Get 1.1.30 exercise solution

Un importante asunto en el estudio de transferencia de calor es determinar la distribución de temperatura de estado estable de una placa delgada cuando se conoce la temperatura en los bordes. Suponga que la placa que se ilustra en la figura representa una sección transversal de una viga de metal, con flujo de calor despreciable en la dirección perpendicular a la placa. Sean T1,…, T4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores de la malla en la figura. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos más cercanos, esto es, a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo. Por ejemplo, T1 (10 + 20+ T2+ T4)/ 4, o 4T1 - T2 - T4 = 30

33. Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solución dé estimaciones de las temperaturas T1,…, T4. Get 1.1.33 exercise solution

34. Resuelva el sistema de ecuaciones del ejercicio 33. [Sugerencia: Para conseguir rapidez en el cálculo, intercambie las filas 1 y 4 antes de iniciar las operaciones de “remplazo”]. Get 1.1.34 exercise solution