dependiente. (Véase el problema de práctica 2). Si es así, entonces
construya una relación de dependencia afín para los puntos.
Get 8.2.1 exercise solution
Get 8.2.2 exercise solution
Get 8.2.3 exercise solution
Get 8.2.4 exercise solution
Get 8.2.5 exercise solution
Get 8.2.6 exercise solution
En los ejercicios 7 y 8, encuentre las coordenadas baricéntricas de
p con respecto al conjunto de puntos afínmente independiente que
lo precede.
Get 8.2.7 exercise solution
Get 8.2.8 exercise solution
En los ejercicios 9 y 10, marque cada enunciado como verdadero
o falso. Justifique sus respuestas.
9. a) Si v1,…, vp están en n y si el conjunto {v1 v2, v3 v2,…,
vp v2} es linealmente dependiente, entonces {v1,…, vp} es
afínmente dependiente. (Lea esto con sumo cuidado).
b) Si v1,…, vp están en n y si el conjunto de formas homogéneas
fQ1; : : : ; Qpg en n 1 es linealmente independiente,
entonces {v1,…, vp} es afínmente dependiente.
c) Un conjunto finito de puntos {v1,…, vk} es afínmente dependiente
si existen números reales c1,…, ck, no todos ceros,
tales que c1 ck 1 y c1v1 ckvk 0.
d) Si S {v1,…, vp} en n es afínmente independiente y si p
en n tiene una coordenada baricéntrica negativa determinada
por S, entonces p no está en aff S.
e) Si v1, v2, v3, a y b están en 3 y si un rayo a tb para t 0
se interseca con el triángulo de vértices v1, v2 y v3, entonces
todas las coordenadas baricéntricas del punto de intersección
son no negativas.
Get 8.2.9 exercise solution
10. a) Si {v1,…, vp} en n es un conjunto afínmente dependiente,
entonces el conjunto fQ1; : : : ; Qpg en n 1 de formas homogéneas
puede ser linealmente independiente.
b) Si v1, v2, v3 y v4 están en 3 y si el conjunto {v2 v1,
v3 v1, v4 v1} es linealmente independiente, entonces
{v1,…, v4} es afínmente independiente.
c) Dado S {b1,…, bk} en n, cada p en aff S tiene representación
única como una combinación afín de b1,…, bk.
d) Cuando una información de color se especifica en cada vértice
v1, v2, v3 de un triángulo en 3, entonces el color se
puede interpolar en un punto p en aff {v1, v2, v3} empleando
las coordenadas baricéntricas de p.
e) Si T es un triángulo en 2 y si un punto p está sobre una
arista del triángulo, entonces no todas las coordenadas baricéntricas
de p (para este triángulo) son positivas.
Get 8.2.10 exercise solution
b) Si v1, v2, v3 y v4 están en 3 y si el conjunto {v2 v1,
v3 v1, v4 v1} es linealmente independiente, entonces
{v1,…, v4} es afínmente independiente.
c) Dado S {b1,…, bk} en n, cada p en aff S tiene representación
única como una combinación afín de b1,…, bk.
d) Cuando una información de color se especifica en cada vértice
v1, v2, v3 de un triángulo en 3, entonces el color se
puede interpolar en un punto p en aff {v1, v2, v3} empleando
las coordenadas baricéntricas de p.
e) Si T es un triángulo en 2 y si un punto p está sobre una
arista del triángulo, entonces no todas las coordenadas baricéntricas
de p (para este triángulo) son positivas.
Get 8.2.11 exercise solution
12. Demuestre que un conjunto {v1,…, vp} en n es afínmente dependiente
cuando p n 2.
Get 8.2.12 exercise solution
13. Utilice sólo la definición de dependencia afín para demostrar
que un conjunto indexado {v1, v2} en n es afínmente dependiente
si y solo si v1 v2.
Get 8.2.13 exercise solution
14. Las condiciones para dependencia afín son más estrictas que
para dependencia lineal, así que un conjunto afínmente dependiente,
de manera automática, es linealmente dependiente.
Además, un conjunto linealmente independiente no puede
ser afínmente dependiente y, por lo tanto, debe ser afínmente
independiente. Construya dos conjuntos indexados linealmente
dependientes S1 y S2 en 2 tales que S1 y S2 tengan dependencia
e independencia afines, respectivamente. En cada caso,
el conjunto deberá contener uno, dos o tres puntos diferentes
de cero.
Get 8.2.14 exercise solution
15. Sean
a) Demuestre que el conjunto S es afínmente independiente.
b) Encuentre las coordenadas baricéntricas de
c) Sea T el triángulo con vértices v1, v2 y v3. Cuando se extienden
los lados de T, las rectas dividen 2 en siete regiones.
Véase la figura 8. Observe los signos de las coordenadas
baricéntricas de los puntos en cada región. Por
ejemplo, p5 está dentro del triángulo T y todas sus coordenadas
baricéntricas son positivas. El punto p1 tiene coordenadas
( , , ). Su tercera coordenada es positiva
porque p1 está sobre el lado v3 de la recta que pasa por v1
y v2. Su primera coordenada es negativa porque p1 es opuesto
al lado v1 de la recta que pasa por v2 y v3. El punto p2 está
sobre la arista v2v3 de T. Sus coordenadas son (0, , ).
Sin calcular los valores reales, determine los signos de las
coordenadas baricéntricas de los puntos p6, p7 y p8 que se
muestran en la figura 8.
Get 8.2.15 exercise solution
16. Sean
a) Demuestre que el conjunto S es afínmente independiente.
b) Encuentre las coordenadas baricéntricas de p1, p2 y p3 con
respecto a S.
c) En papel milimétrico trace el triángulo T con vértices v1, v2
y v3, extienda los lados como en la figura 5, y trace los puntos
p4, p5, p6 y p7. Sin calcular los valores reales, determine
los signos de las coordenadas baricéntricas de los puntos p4,
p5, p6 y p7.
Get 8.2.16 exercise solution
17. Demuestre el teorema 6 para un conjunto afínmente independiente
S {v1,…, vk} en n. [Sugerencia: Un método es imitar
la demostración del teorema 7 de la sección 4.4].
Get 8.2.17 exercise solution
18. Sea T un tetraedro en posición “estándar”, con tres aristas a lo
largo de los tres ejes coordenados positivos en 3, y suponga
que los vértices son ae1, be2, ce3 y 0, donde [e1 e2 e3] I3.
Obtenga las fórmulas para las coordenadas baricéntricas de un
punto arbitrario p en 3.
Get 8.2.18 exercise solution
19. Sean {p1, p2, p3} un conjunto de puntos en n afínmente dependiente
y f : n S m una transformación lineal. Demuestre
que {f (p1), f (p2), f (p3)} es afínmente dependiente en m.
Get 8.2.19 exercise solution
20. Suponga que {p1, p2, p3} es un conjunto afínmente independiente
en n y que q es un punto arbitrario en n. Demuestre
que el conjunto trasladado {p1 q, p2 q, p3 q} también es
afínmente independiente.
En los ejercicios 21 a 24, a, b y c son puntos no colineales en 2
y p es cualquier otro punto en 2. Sea que
abc denote la región
triangular cerrada determinada por a, b y c, y sea
pbc la región determinada
por p, b y c. Por conveniencia, suponga que a, b y c se
arreglan de tal forma que OE Q Q Q es positivo, donde Q Q y Q
son las formas homogéneas estándar de los puntos.
Get 8.2.20 exercise solution
21. Demuestre que el área de
abc es OE Q Q Q =2. [Sugerencia:
Consulte las secciones 3.2 y 3.3, incluyendo los ejercicios].
Get 8.2.21 exercise solution
22. Sea p un punto sobre la recta que pasa por a y b. Demuestre que
OE Q Q Q D 0.
Get 8.2.22 exercise solution
23. Sea p cualquier punto interior de Δabc, con coordenadas baricéntricas
(r, s, t), de manera que
Utilice el ejercicio 19 y un hecho relacionado con determinantes
(capítulo 3) para demostrar que
r (área de pbc) (área de abc)
s (área de apc) (área de abc)
t (área de abp) (área de abc)
Get 8.2.23 exercise solution
24. Tome a q sobre el segmento de recta de b a c y considere
la recta que pasa por q y a, que se puede representar como
p (1 x)q xa para toda x real. Pruebe que, para cada x,
OE Q Q Q D x OE Q Q Q . A partir de esto y de un
trabajo anterior, concluya que el parámetro x es la primera
coordenada baricéntrica de p. Sin embargo, por construcción,
el parámetro x también determina la distancia relativa entre
p y q sobre el segmento de q a a. (Cuando x 1, p a).
Cuando este resultado se aplica al ejemplo 5, demuestra que
los colores en el vértice a y el punto q se interpolan suavemente
conforme p se mueve a lo largo de la recta entre a y q.
Get 8.2.24 exercise solution
