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En los ejercicios 9 a 16, determine una base para el espacio propio
asociado con cada valor propio indicado.
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En los ejercicios 17 y 18, determine los valores propios de las matrices.
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20. Sin hacer cálculos, obtenga un valor propio y dos vectores
propios linealmente independientes de
Get 5.1.20 exercise solution
En los ejercicios 21 y 22, A es una matriz de n x n. Marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique su respuesta.
21. a) Si Ax = λx para algún vector x, entonces λ es un valor propio de A.
b) Una matriz A no es invertible si y solo si 0 es un valor propio de A.
c) Un número c es un valor propio de A si y solo si la ecuación (A – cI )x = 0 tiene una solución no trivial.
d) Quizá sea difícil obtener un vector propio de A, pero es sencillo comprobar si un vector dado es, de hecho, un vector propio.
e) Para determinar los valores propios de A, se reduce A a una forma escalonada. Get 5.1.21 exercise solution
22. a) Si Ax λx para algún escalar λ, entonces x es un vector propio de A.
b) Si v1 y v2 son vectores propios linealmente independientes, entonces corresponden a distintos valores propios.
c) Un vector de estado estable para una matriz estocástica es realmente un vector propio.
d) Los valores propios de una matriz están sobre su diagonal principal.
e) Un espacio propio de A es el espacio nulo de cierta matriz. Get 5.1.22 exercise solution
23. Explique por qué una matriz de 2 x 2 puede tener, cuando mucho, dos valores propios distintos. También indique por qué una matriz de n x n puede tener, cuando mucho, n valores propios diferentes. Get 5.1.23 exercise solution
24. Construya un ejemplo de una matriz de 2 2 con tan solo un valor propio distinto. Get 5.1.24 exercise solution
25. Sea λ un valor propio de una matriz A invertible. Demuestre que λ-1 es un valor propio de A- 1. [Sugerencia: Suponga que x distinto de cero satisface Ax = λx]. Get 5.1.25 exercise solution
26. Demuestre que si A2 es la matriz cero, entonces el único valor propio de A es 0. Get 5.1.26 exercise solution
27. Demuestre que λ es un valor propio de A si y solo si λ es un valor propio de AT. [Sugerencia: Determine cómo se relaciona A - λI con AT - λI]. Get 5.1.27 exercise solution
28. Utilice el ejercicio 27 para completar la demostración del teorema 1 para el caso en que A es triangular inferior. Get 5.1.28 exercise solution
29. Considere una matriz A de n x n con la propiedad de que la suma de las filas sea igual al mismo número s. Demuestre que s es un valor propio de A. [Sugerencia: Encuentre un vector propio]. Get 5.1.29 exercise solution
30. Considere una matriz A de n x n tal que las sumas de columnas sean iguales al mismo número s. Demuestre que s es un valor propio de A. [Sugerencia: Utilice los ejercicios 27 y 29]. Get 5.1.30 exercise solution
En los ejercicios 31 y 32, sea A la matriz de la transformación lineal T. Sin escribir A, encuentre un valor propio de A y describa el espacio propio.
31. T es la transformación sobre R2 que refleja los puntos con respecto a una recta que pasa por el origen. Get 5.1.31 exercise solution
32. T es la transformación en R 3 que gira los puntos alrededor de alguna recta que pasa por el origen.
Get 5.1.32 exercise solution
33. Sean u y v vectores propios de una matriz A, con valores propios
correspondientes l y m, y sean c1 y c2 escalares. Defina:Xk = cλk u + c2 k v (k = 0; 1; 2; ...)
a) ¿Qué es Xk+ 1 por definición?
b) Calcule AXk de la fórmula para Xk y demuestre que Axk xk 1. Este cálculo probará que la secuencia {xk} que se acaba de definir satisface la ecuación en diferencias xk 1 Axk (k 0, 1, 2,…).
Get 5.1.33 exercise solution
34. Describa cómo intentaría construir una solución de una ecuación
en diferencias xk 1 Axk (k 0,1,2,…), si le dieran x0 inicial y
resultara que este no fuera un vector propio de A. [Sugerencia:
¿Cómo podría relacionar x0 con los vectores propios de A?]
Get 5.1.34 exercise solution
35. Sean u y v los vectores que se muestran en la figura, y suponga
que u y v son vectores propios de una matriz A de 2 2
correspondientes a los valores propios 2 y 3, respectivamente.
Sea T : 2 S 2 la transformación lineal dada por T(x) Ax
para cada x en 2, y sea w u v. Haga una copia de la figura, y sobre el mismo sistema de coordenadas grafique cuidadosamente
los vectores T(u), T(v) y T(w).
Get 5.1.35 exercise solution
36. Repita el ejercicio 35, suponiendo que u y v son vectores
propios de A correspondientes a los valores propios 1 y 3,
respectivamente.
Get 5.1.36 exercise solution
[M] En los ejercicios 37 a 40, utilice un programa matricial para determinar
los valores propios de la matriz. Después, aplique el método
del ejemplo 4 con una rutina de reducción por filas para producir una
base para cada espacio propio.
Get 5.1.37 exercise solution
Get 5.1.38 exercise solution
Get 5.1.39 exercise solution
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