Soluciones Algebra Lineal y sus Aplicaciones - Linear Algebra and its Applications - 4ed David Lay : Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions

En los ejercicios 1 a 4, obtenga los valores singulares de las matrices

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En los ejercicios 5 a 12, encuentre una DVS para cada matriz. [Sugerencia: En el ejercicio 11, una elección para U es

En el ejercicio 12, una columna de U puede ser

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13. Encuentre la DVS de

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14. En el ejercicio 7, obtenga un vector unitario x en el cual Ax tiene longitud máxima.
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15. Suponga que la siguiente factorización es una DVS de una matriz A, con las entradas en U y V redondeadas a dos decimales

) ¿Cuál es el rango de A? b) Utilice esta descomposición de A, sin hacer cálculos, y escriba una base para Col A y una base para Nul A. [Sugerencia: Primero escriba las columnas de V].
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16. Repita el ejercicio 15 para la siguiente DVS de una matriz A de 3 x 4:

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En los ejercicios 17 a 24, A es una matriz de m n con una descomposición en valores singulares A= UEVT, donde U es una matriz ortogonal de m x m, e es una matriz “diagonal” de m x n con r entradas positivas y sin entradas negativas, y V es una matriz ortogonal de n x n. Justifique sus respuestas.

17. Suponga que A es cuadrada e invertible. Encuentre una descomposición en valores singulares de A -1.
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18. Demuestre que si A es cuadrada, entonces | det A| es el producto de los valores singulares de A.
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19. Demuestre que las columnas de V son vectores propios de ATA, que las columnas de U son vectores propios de AAT, y que las entradas diagonales de E son los valores singulares de A. [Sugerencia: Utilice la DVS para calcular ATA y AAT].
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20. Demuestre que si A es una matriz positiva definida de n n, entonces una diagonalización ortogonal A PDPT es una descomposición en valores singulares de A.
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21. Demuestre que si P es una matriz ortogonal de m m, entonces PA y A tienen los mismos valores singulares.
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22. Justifique el enunciado del ejemplo 2 referente a que el segundo valor singular de una matriz A es el máximo de || Ax|| conforme x varía sobre todos los vectores unitarios ortogonales a v1, siendo v1 un vector singular derecho correspondiente al primer valor singular de A. [Sugerencia: Utilice el teorema 7 de la sección 7.3].
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23. Sean U = [u1... um] y V = [v1...vn], donde uj y vj son como en el teorema 10. Demuestre que

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24. Utilizando la notación del ejercicio 23, demuestre que ATuj <= sjvj para 1 <= j<= r =rango A.
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25. Sea T : Rn --> R m una transformación lineal. Describa cómo encontrar una base B para Rn y una base C para Rm tal que la matriz para T respecto de B y C sea una matriz “diagonal” de m x n.

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[M] Calcule una DVS para cada matriz en los ejercicios 26 y 27. Informe las entradas matriciales finales con dos decimales. Utilice el método de los ejemplos 3 y 4.

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28. [ M] Determine los valores singulares de la matriz de 4 x 4 en el ejercicio 9 de la sección 2.3, y calcule el número de condición o1 /o4.
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29. [ M] Calcule los valores singulares de la matriz de 5 x 5 en el ejercicio 10 de la sección 2.3, y determine el número de condición o1/ o5.
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Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 7. Section 7.4 Solutions