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En los ejercicios 7 a 12, determine qué matrices son ortogonales. Si alguna es ortogonal, encuentre su inversa.
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En los ejercicios 13 a 22, diagonalice ortogonalmente las matrices, dando una matriz ortogonal P y una matriz diagonal D. Para ahorrarle tiempo, los valores propios en los ejercicios 17 a 22 son:
(17) 5, 2, 2; (18) 25, 3, 50; (19) 7, 2; (20) 13, 7, 1; (21) 9, 5, 1; (22) 2, 0.
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23. Sean
Compruebe que 2 es un valor propio de A y v un vector propio. Después, diagonalice A ortogonalmente.
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24. Sean
Compruebe que v1 y v2 son vectores propios de A. Después diagonalice A ortogonalmente.
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En los ejercicios 25 y 26, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
25. a) Una matriz de n n que es diagonalizable ortogonalmente debe ser simétrica. b) Si AT A y si los vectores u y v satisfacen Au 3u y Av 4v, entonces u v 0. c) Una matriz simétrica de n n tiene n valores propios reales distintos. d) Para v diferente de cero en n, la matriz vvT es una matriz de proyección.
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26. a) Cada matriz simétrica es diagonalizable ortogonalmente. b) Si B PDPT, donde PT P 1 y D es una matriz diagonal, entonces B es una matriz simétrica. c) Una matriz ortogonal es diagonalizable ortogonalmente. d) La dimensión de un espacio propio de una matriz simétrica es igual a la multiplicidad del valor propio correspondiente.
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27. Suponga que A es una matriz simétrica de n n, y B es cualquier matriz de n x m. Demuestre que BTAB, BTB y BBT son matrices simétricas.
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28. Demuestre que si A es una matriz simétrica de n n, entonces (Ax) y x (Ay) para toda x, y en Rn.
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29. Suponga que A es invertible y diagonalizable ortogonalmente. Explique por qué A 1 también es diagonalizable ortogonalmente.
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30. Suponga que tanto A como B son diagonalizables ortogonalmente y que AB BA. Explique por qué AB también es diagonalizable ortogonalmente.
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31. Sean A = PDP- 1, donde P es ortogonal y D es diagonal, y l es un valor propio de A de multiplicidad k. Entonces l se presenta k veces sobre la diagonal de D. Explique por qué la dimensión del espacio propio para l es k.
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32. Suponga que A = PRP- 1, donde P es ortogonal y R es triangular superior. Demuestre que si A es simétrica, entonces R es simétrica y, por lo tanto, realmente es una matriz diagonal.
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33. Construya una descomposición espectral de A del ejemplo 2.
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34. Construya una descomposición espectral de A del ejemplo 3.
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35. Sea u el vector unitario en R n, y sea B = uuT.
a) Dada cualquier x en n, calcule Bx y demuestre que Bx es la proyección ortogonal de x sobre u, como se describió en la sección 6.2. b) Demuestre que B es una matriz simétrica y que B2 B. c) Demuestre que u es un vector propio de B. ¿Cuál es el valor propio correspondiente?
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36. Sea B una matriz simétrica de n x n tal que B2 = B. Cualquier matriz de este tipo se conoce como matriz de proyección (o matriz de proyección ortogonal). Para cualquier y en n, sean yˆ = By y z = y- yˆ. a) Demuestre que z es ortogonal a yˆ. b) Sea W el espacio columna de B. Demuestre que y es la suma de un vector en W y de un vector en W . ¿Por qué esto demuestra que By es la proyección ortogonal de y sobre el espacio columna de B?
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[M] En los ejercicios 37 a 40, diagonalice ortogonalmente las matrices indicadas. Para practicar los métodos de esta sección, no utilice la rutina de vectores propios de su programa de matrices. En vez de ello, aplique el programa para encontrar los valores propios, y para cada valor propio l, obtenga una base ortonormal para Nul(A- lI), como en los ejemplos 2 y 3.
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