los vectores
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Get 6.1.8 exercise solution
En los ejercicios 9 a 12, obtenga un vector unitario en la dirección
del vector indicado.
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Get 6.1.10 exercise solution
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Get 6.1.12 exercise solution
13. Encuentre la distancia entre
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14. Calcule la distancia entre
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En los ejercicios 15 a 18, determine qué pares de vectores son ortogonales.
Get 6.1.15 exercise solution
Get 6.1.16 exercise solution
Get 6.1.17 exercise solution
Get 6.1.18 exercise solution
En los ejercicios 19 y 20, todos los vectores están en n. Marque
cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
19. a) v v v 2.
b) Para cualquier escalar c, u (cv) c(u v).
c) Si la distancia de u a v es igual a la distancia de u a v,
entonces u y v son ortogonales.
d) Para una matriz cuadrada A, los vectores en Col A son ortogonales
a los vectores en Nul A.
e) Si los vectores v1,…, vp generan un subespacio W y si x es
ortogonal a cada vj para j 1,…, p, entonces x está en W .
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20. a) u v -v u 0.
b) Para cualquier escalar c, cv c v .
c) Si x es ortogonal a cada vector en un subespacio W, entonces
x está en W .
d) Si u 2 v 2 u v 2, entonces u y v son ortogonales.
e) Si A es una matriz de m n, los vectores en el espacio nulo
de A son ortogonales a los vectores en el espacio fila de A.
Get 6.1.20 exercise solution
21. Utilice la definición de transpuesta del producto interior para
comprobar los incisos b) y c) del teorema 1. Mencione los
hechos pertinentes del capítulo 2.
Get 6.1.21 exercise solution
22. Sea u (u1, u2, u3). Explique por qué u u 0. ¿Cuándo
u u 0?
Get 6.1.22 exercise solution
23. Sean
Calcule y compare u v, u 2,
v 2 y u v 2. No utilice el teorema de Pitágoras.
Get 6.1.23 exercise solution
24. Compruebe la ley del paralelogramo para vectores u y v en n:
u v 2 u v 2 2 u 2 2 v 2
Get 6.1.24 exercise solution
25. Sea
Describa el conjunto H de vectores
que son ortogonales a v. [Sugerencia: Considere v 0 y v 0]
Get 6.1.25 exercise solution
26. Sean
y W el conjunto de todas las x en 3 tales
que u x 0. ¿Qué teorema del capítulo 4 se puede utilizar
para demostrar que W es un subespacio de R3? Describa a W en
lenguaje geométrico.
Get 6.1.26 exercise solution
27. Suponga que un vector y que es ortogonal a los vectores u y v.
Demuestre que y es ortogonal al vector u v.
Get 6.1.27 exercise solution
28. Suponga que y es ortogonal a u y v. Demuestre que y es ortogonal
a cada w en Gen {u, v}. [Sugerencia: Una w arbitraria en
Gen {u, v} tiene la forma w c1u c2v. Demuestre que y es
ortogonal a dicho vector w].
Get 6.1.28 exercise solution
29. Sea W Gen {v1,…, vp}. Demuestre que si x es ortogonal
a cada vj, para 1 j p, entonces x es ortogonal a todo vector
en W.
Get 6.1.29 exercise solution
30. Sean W un subespacio de n, y W el conjunto de todos los
vectores ortogonales a W. Demuestre que W es un subespacio
de n, considerando los siguientes pasos.
a) Tome z en W , y sea u cualquier elemento de W. Entonces
z u 0. Tome cualquier escalar c y demuestre que cz es
ortogonal a u. (Puesto que u era un elemento arbitrario de
W, esto demostrará que cz está en W ).
b) Tome z1 y z2 en W , y sea u cualquier elemento de W.
Demuestre que z1 z2 es ortogonal a u. ¿Qué se puede
concluir acerca de z1 z2? ¿Por qué?
c) Termine la demostración de que W es un subespacio de
R n.
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31. Demuestre que si x está en W y W , entonces x 0.
Get 6.1.31 exercise solution
32. [M] Construya un par u, v de vectores aleatorios en 4, y sea
a) Denote las columnas de A como a1,…, a4. Obtenga la longitud
de cada columna, y calcule a1 a2, a1 a3, a1 a4, a2 a3,
a2 a4 y a3 a4.
b) Calcule y compare las longitudes de u, Au, v y Av.
c) Utilice la ecuación (2) de esta sección para calcular el coseno
del ángulo entre u y v. Compare esto con el coseno del
ángulo entre Au y Av.
d) Repita los incisos b) y c) para otros dos pares de vectores
aleatorios. ¿Qué se puede suponer del efecto de A sobre los
vectores?
Get 6.1.32 exercise solution
33. [M] Genere vectores aleatorios x, y y v en 4 con entradas enteras
(y v 0), y calcule las cantidades
Repita los cálculos con nuevos vectores aleatorios x y y.
¿Qué se puede suponer acerca del mapeo
(para v 0)? Compruebe su suposición algebraicamente.
Get 6.1.33 exercise solution
Construya
una matriz N cuyas columnas formen una base para Nul A, y
elabore una matriz R cuyas filas formen una base para Fil A
(para detalles, véase la sección 4.6). Efectúe un cálculo matricial
con N y R que muestre un hecho del teorema 3.
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