Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 7. Section 7.3 Solutions

En los ejercicios 1 y 2, encuentre el cambio de variable x = Py que transforme la forma cuadrática xTAx en yTDy como se muestra. 




Get 7.3.1 exercise solution




Get 7.3.2 exercise solution


En los ejercicios 3 a 6, encuentre: a) el valor máximo de Q(x) con la restricción xTx = 1, b) un vector unitario u donde se logre este máximo, y c) el máximo de Q(x) con las condiciones xTx= 1 y xTu= 0.




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Get 7.3.4 exercise solution







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Get 7.3.6 exercise solution


Sea



 Determine un vector unitario x en R 3 en el cual Q(x) sea máximo, con la restricción xTx =1. [Sugerencia: Los valores propios de la matriz de la forma cuadrática Q son 2, - 1 y -4].
Get 7.3.7 exercise solution



Sea

Obten- ga un vector unitario x en R3 en el que Q(x) sea máximo, con la restricción xTx = 1. [Sugerencia: Los valores propios de la matriz de la forma cuadrática Q son 9 y -3]. 
 Get 7.3.8 exercise solution



9. Encuentre el valor máximo de

con la restricción

 (No continúe para encontrar un vec-tor donde se alcance el máximo).
Get 7.3.9 exercise solution


10. Obtenga el valor máximo de

con la restricción

(No continúe para encontrar un vec-tor donde se alcance el máximo).
Get 7.3.10 exercise solution



11. Suponga que x es un vector propio unitario de una matriz A correspondiente a un valor propio 3. ¿Cuál es el valor de xTAx?
Get 7.3.11 exercise solution


12. Sea l cualquier valor propio de una matriz simétrica A. Justifique el enunciado hecho en esta sección de que m <= l <= M, donde m y M se definen como en la ecuación (2). [Sugerencia: Encuentre una x tal que l = xTAx].
Get 7.3.12 exercise solution


13. Considere que A es una matriz simétrica de n n, y que M y m representan los valores máximo y mínimo de la forma cuadrática xTAx; denote los vectores propios unitarios correspondientes como u1 y un. Los siguientes cálculos demuestran que dado cualquier número t entre M y m, existe un vector unitario x tal que t= xTAx. Compruebe que t = (1 - a)m + aM para algún número a entre 0 y 1. Después deje que

y demuestre que xTx = 1 y xTAx = t.  
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[M] En los ejercicios 14 a 17, siga las instrucciones para los ejercicios 3 a 6.

x1x2 +3x1x3 +30x1x4 +30x2x3 +3x2x4 +x3x4
Get 7.3.14 exercise solution

3x1x2 +5x1x3 +7x1x4 +7x2x3 +5x2x4 +3x3x4
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Get 7.3.16 exercise solution



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