ortogonales.
Get 6.2.1 exercise solution
Get 6.2.2 exercise solution
Get 6.2.3 exercise solution
Get 6.2.4 exercise solution
Get 6.2.5 exercise solution
Get 6.2.6 exercise solution
En los ejercicios 7 a 10, demuestre que {u1, u2} o {u1, u2, u3} son
una base ortogonal para R2 o R 3, respectivamente. Después exprese
x como una combinación lineal de los vectores u.
Get 6.2.7 exercise solution
Get 6.2.8 exercise solution
Get 6.2.9 exercise solution
Get 6.2.10 exercise solution
Get 6.2.11 exercise solution
Get 6.2.12 exercise solution
13. Sean
Escriba y como la suma de dos
vectores ortogonales, uno en Gen {u} y el otro ortogonal a u.
Get 6.2.13 exercise solution
14. Sean
Escriba y como la suma de un
vector en Gen {u} y un vector ortogonal a u.
Get 6.2.14 exercise solution
15. Sean
Calcule la distancia de y a la recta
que pasa por u y el origen.
Get 6.2.15 exercise solution
16. Sean
Calcule la distancia de y a la
recta que pasa por u y el origen.
Get 6.2.16 exercise solution
En los ejercicios 17 a 22, determine cuáles conjuntos de vectores son
ortonormales. Si un conjunto solamente es ortogonal, normalice los
vectores para obtener un conjunto ortonormal.
Get 6.2.17 exercise solution
Get 6.2.18 exercise solution
Get 6.2.19 exercise solution
Get 6.2.20 exercise solution
Get 6.2.21 exercise solution
Get 6.2.22 exercise solution
En los ejercicios 23 y 24, todos los vectores están en Rn. Marque
cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
23. a) No todo conjunto linealmente independiente en Rn es un
conjunto ortogonal.
b) Si y es una combinación lineal de vectores distintos de cero
de un conjunto ortogonal, entonces los pesos en la combinación
lineal se pueden calcular sin operaciones de fila sobre
una matriz.
c) Si se normalizan los vectores en un conjunto ortogonal de
vectores distintos de cero, entonces tal vez algunos de los
nuevos vectores no sean ortogonales.
d) Una matriz con columnas ortonormales es una matriz
ortogonal.
e) Si L es una recta que pasa por 0 y si yˆ es la proyección ortogonal
de y sobre L, entonces yˆ da la distancia de y a L.
Get 6.2.23 exercise solution
24. a) No todo conjunto ortogonal en n es linealmente independiente.
b) Si un conjunto S {u1,…, up} tiene la propiedad de que
ui uj 0 siempre que i j, entonces S es un conjunto ortonormal.
c) Si las columnas de una matriz A de m n son ortonormales,
entonces el mapeo lineal x Ax preserva longitudes.
d) La proyección ortogonal de y sobre v es igual a la proyección
ortogonal de y sobre cv siempre que c 0.
e) Una matriz ortogonal es invertible.
Get 6.2.24 exercise solution
25. Demuestre el teorema 7. [Sugerencia: Para a), calcule Ux 2,
o primero demuestre b)].
Get 6.2.25 exercise solution
26. Suponga que W es un subespacio de n generado por n vectores
ortogonales distintos de cero. Explique por qué W= Rn.
Get 6.2.26 exercise solution
27. Sea U una matriz cuadrada con columnas ortonormales. Explique
por qué U es invertible. (Mencione los teoremas que utilice).
Get 6.2.27 exercise solution
28. Sea U una matriz ortogonal de n x n. Demuestre que las filas de
U forman una base ortonormal de R n.
Get 6.2.28 exercise solution
29. Sean U y V matrices ortogonales de n x n. Explique por qué
UV es una matriz ortogonal. [Es decir, explique por qué UV
es invertible y su inversa es (UV)T ].
Get 6.2.29 exercise solution
30. Sea U una matriz ortogonal; construya V intercambiando algunas
de las columnas de U. Explique por qué V es una matriz
ortogonal.
Get 6.2.30 exercise solution
31. Demuestre que la proyección ortogonal de un vector y sobre
una recta L que pasa por el origen en R2 no depende de la elección
del vector u diferente de cero en L que se emplea en la
fórmula para yˆ. Para hacer esto, suponga que y y u están dados
y que yˆ se calculó mediante la fórmula (2) de esta sección.
Sustituya u en tal fórmula por cu, donde c es un escalar distinto
de cero no especificado. Demuestre que la nueva fórmula da
el mismo valor para yˆ.
Get 6.2.31 exercise solution
32. Sean {v1, v2} un conjunto ortogonal de vectores distintos de
cero, y c1, c2 escalares diferentes de cero. Demuestre que {c1v1,
c2v2} también es un conjunto ortogonal. Como la ortogonalidad
de un conjunto está definida en términos de pares de vectores,
esto demuestra que si se normalizan los vectores en un conjunto
ortogonal, el nuevo conjunto seguirá siendo ortogonal.
Get 6.2.32 exercise solution
33. Dado u 0 en n, sea L Gen {u}. Demuestre que el mapeo
x proyL x es una transformación lineal.
Get 6.2.33 exercise solution
34. Dado u 0 en n, sea L Gen {u}. Para y en n, la reflexión
de y en L es el punto reflL y definido por
reflL y 2 proyL y - y.
Véase la figura, que indica que reflL y es la suma de yˆ proyL y
y yˆ y. Demuestre que el mapeo y reflL es una transformación
lineal.
Get 6.2.34 exercise solution
35. [M] Demuestre que las columnas de la matriz A son ortogonales
haciendo el cálculo matricial adecuado. Especifique el cálculo
que realizó.
Get 6.2.35 exercise solution
36. [M] En los incisos a) a d), sea U la matriz formada por la normalización
de cada columna de la matriz A del ejercicio 35.
a) Calcule UTU y UUT. ¿En qué difieren?
b) Genere un vector aleatorio y en R 8, y determine p= UUTy
y z = y- p. Explique por qué p está en Col A. Compruebe
que z sea ortogonal a p.
c) Compruebe que z es ortogonal a cada columna de U.
d) Observe que y = p
z está en (Col A) . (En la siguiente sección se explicará el
significado de esta descomposición de y).
Get 6.2.36 exercise solution
