Soluciones Algebra Lineal y sus Aplicaciones - Linear Algebra and its Applications - 4ed David Lay : Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions

En los ejercicios 1 a 4, escriba y como una combinación afín de los
otros puntos indicados, si es posible.

Get 8.1.4 exercise solution

y S {b1, b2, b3}. Observe que S es una base ortogonal para 3.
Escriba cada uno de los puntos dados como una combinación afín
de los puntos del conjunto S, si es posible. [Sugerencia: Para encontrar
los pesos, aplique el teorema 5 de la sección 6.2 en vez de la
reducción por filas].

Get 8.1.5 exercise solution

Get 8.1.6 exercise solution

7. Sean

y S {v1, v2, v3}. Es posible demostrar que S es linealmente
independiente.
a) ¿Está p1 en Gen S? ¿Se encuentra p1 en aff S?
b) ¿Se encuentra p2 en Gen S? ¿Está p2 en aff S?
c) ¿Está p3 en Gen S? ¿Se encuentra p3 en aff S?
Get 8.1.7 exercise solution

8. Repita el ejercicio 7 considerando

Get 8.1.8 exercise solution

9. Suponga que las soluciones de una ecuación Ax b son todas
de la forma x x3u p, donde

Encuentre los puntos v1 y v2 tales que el conjunto solución de
Ax b sea aff{v1, v2}.
Get 8.1.9 exercise solution

10. Suponga que las soluciones de una ecuación Ax b son todas
de la forma x x3u p, donde

Obtenga puntos v1 y v2 tales que el conjunto solución de
Ax b sea aff{v1, v2}.
Get 8.1.10 exercise solution

En los ejercicios 11 y 12, marque cada enunciado como verdadero
o falso. Justifique sus respuestas.

11. a) El conjunto de todas las combinaciones afines de puntos en
un conjunto S se denomina envolvente afín de S.
b) Si {b1,…, bk} es un subconjunto linealmente independiente
de n y si p es una combinación lineal de b1,…, bk, entonces
p es una combinación afín de b1,…, bk.
c) La envolvente afín de dos puntos distintos se llama recta.
d) Un plano afín es un subespacio.
e) El plano en 3 es un hiperplano.
Get 8.1.11 exercise solution

12. a) Si S {x}, entonces aff S es el conjunto vacío.
b) Un conjunto es afín si y solo si contiene su envolvente afín.
c) Un plano afín de dimensión 1 se llama recta.
d) Un plano afín de dimensión 2 se llama hiperplano.
Get 8.1.12 exercise solution

13. Suponga que {v1, v2, v3} es una base para 3. Demuestre que
Gen {v2 v1, v3 v1} es un plano en 3. [Sugerencia: Piense
qué se puede decir sobre u y v cuando Gen {u, v} es un plano].
Get 8.1.13 exercise solution

14. Demuestre que si {v1, v2, v3} es una base para 3, entonces
aff {v1, v2, v3} es el plano a través de v1, v2 y v3.
Get 8.1.14 exercise solution

15. Sea A una matriz de m n y, si b está en m, demuestre que el
conjunto S de todas las soluciones de Ax b es un subconjunto
afín de Rn.
Get 8.1.15 exercise solution

16. Considere que v H n y k H R. Demuestre que S {x H n :
x·v k} es un subconjunto afín de n.
Get 8.1.16 exercise solution

17. Seleccione un conjunto S de tres puntos tales que aff S sea el
plano en 3 cuya ecuación es x3 5. Justifique su trabajo.
Get 8.1.17 exercise solution

18. Seleccione un conjunto S de cuatro puntos distintos en 3
tal que aff S sea el plano 2x1 x2 3x3 12. Justifique su
trabajo.
Get 8.1.18 exercise solution

19. Sea S un subconjunto afín de n, y suponga que f : n S m
es una transformación lineal, y que f (S) denota el conjunto de
imágenes {f (x): x H S}. Demuestre que f (S) es un subconjunto
afín de m.
Get 8.1.19 exercise solution

20. Sean f : n S m una transformación lineal, T un subconjunto
afín de Rm, y S {x H n : f (x) H T}. Demuestre que S
es un subconjunto afín de Rn.
Get 8.1.20 exercise solution

En los ejercicios 21 a 26, demuestre el enunciado sobre subconjuntos
A y B de n, o dé el ejemplo requerido en 2. Una demostración para
un ejercicio puede utilizar los resultados obtenidos en los ejercicios
anteriores (así como los teoremas disponibles en el libro).

21. Si A ( B y B es afín, entonces aff A ( B.
Get 8.1.21 exercise solution

22. Si A ( B, entonces aff A ( aff B.
Get 8.1.22 exercise solution

23. [(aff A) x (aff B)] ( aff (A x B). [Sugerencia: Para demostrar
que D x E ( F, demuestre que D ( F y E ( F].
Get 8.1.23 exercise solution

24. Encuentre un ejemplo en 2 para demostrar que la igualdad
no necesariamente es válida en el enunciado del ejercicio 23.
[Sugerencia: Considere los conjuntos A y B, cada uno los cuales
solamente contiene uno o dos puntos].
Get 8.1.24 exercise solution

25. aff (A y B) ( (aff A y aff B)
Get 8.1.25 exercise solution

26. Encuentre un ejemplo en 2 para demostrar que la igualdad no
necesita ser válida en el enunciado del ejercicio 25.
Get 8.1.26 exercise solution

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 8. Section 8.1 Solutions