y
Get 7.2.1 exercise solution
2. Determine la forma cuadrática xTAx, para
y
Get 7.2.2 exercise solution
3. Encuentre la matriz de la forma cuadrática. Suponga que x está en R2.
Get 7.2.3 exercise solution
4. Obtenga la matriz de la forma cuadrática. Suponga que x está en R2.
Get 7.2.4 exercise solution
5. Determine la matriz de la forma cuadrática. Suponga que x está en R3.
Get 7.2.5 exercise solution
6. Encuentre la matriz de la forma cuadrática. Suponga que x está en 3.
Get 7.2.6 exercise solution
7. Realice un cambio de variable, x Py, que transforme la forma cuadrática x2 1 +10x1x2 +x2 2 en una forma cuadrática sin producto cruzado. Determine P y la nueva forma cuadrática.
Get 7.2.7 exercise solution
8. Sea A la matriz de la forma cuadrática 9x2 1 + 7x2 2 + 11x2 3 - 8x1x2 + 8x1x3 Es posible demostrar que los valores propios de A son 3, 9 y 15. Encuentre una matriz ortogonal P tal que el cambio de variable x Py transforme xTAx en una forma cuadrática sin productos cruzados. Determine P y la nueva forma cuadrática.
Get 7.2.8 exercise solution
En los ejercicios 9 a 18, clasifique las formas cuadráticas. Después realice un cambio de variable, x Py, que convierta la forma cuadrática en una que no incluya productos cruzados. Escriba la nueva forma cuadrática. Construya P utilizando los métodos de la sección 7.1.
Get 7.2.9 exercise solution
Get 7.2.10 exercise solution
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Get 7.2.14 exercise solution
Get 7.2.15 exercise solution
Get 7.2.16 exercise solution
Get 7.2.17 exercise solution
Get 7.2.18 exercise solution
Get 7.2.19 exercise solution
20. ¿Cuál es el valor más grande de la forma cuadrática 5x2 1 - 3x2 2 si xTx =1?
Get 7.2.20 exercise solution
En los ejercicios 21 y 22, las matrices son de n n y los vectores están en n. Marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
21. a) La matriz de una forma cuadrática es una matriz simétrica. b) Una forma cuadrática no tiene productos cruzados si y solo si la matriz de la forma cuadrática es una matriz diagonal. c) Los ejes principales de una forma cuadrática xTAx son vectores propios de A. d) Una forma cuadrática positiva definida Q satisface Q(x)> 0 para toda x enR n.
e) Si todos los valores propios de una matriz simétrica A son positivos, entonces la forma cuadrática xTAx es positiva definida. f) Una factorización de Cholesky de una matriz simétrica A tiene la forma A RTR, para una matriz triangular superior R con entradas diagonales positivas.
Get 7.2.21 exercise solution
22. a) La expresión x 2 es una forma cuadrática. b) Si A es simétrica y P es una matriz ortogonal, entonces el cambio de variable x Py convierte xTAx en una forma cuadrática sin productos cruzados. c) Si A es una matriz simétrica de 2 x 2, entonces el conjunto de x tal que xTAx c (para una constante c) corresponde a un círculo, una elipse o una hipérbola. d) Una forma cuadrática indefinida es positiva semidefinida o negativa semidefinida. e) Si A es simétrica y la forma cuadrática xTAx solo tiene valores negativos para x = 0, entonces todos los valores propios de A son negativos.
Get 7.2.22 exercise solution
Los ejercicios 23 y 24 muestran cómo clasificar una forma cuadrática Q(x) xTAx, cuando
y det A <> 0, sin obtener los valores propios de A.
23. Si l1 y l2 son los valores propios de A, entonces el polinomio característico de A se puede escribir de dos maneras: det(A- lI) y (l - l1)(l - l2). Con base en este hecho, demuestre que l1+ l2 =a + d (las entradas diagonales de A) y l1l2 = det A.
Get 7.2.23 exercise solution
24. Compruebe los siguientes enunciados. a) Q es positiva definida si det A> 0 y a >0.
b) Q es negativa definida si det A > 0 y a > 0.
c) Q es indefinida si det A < 0.
Get 7.2.24 exercise solution
25. Demuestre que si B es de m x n, entonces BTB es positiva semidefinida; y si B es de nx n e invertible, entonces BTB es positiva definida.
Get 7.2.25 exercise solution
26. Demuestre que si una matriz A de n n es positiva definida, entonces existe una matriz B positiva definida tal que A BTB. [Sugerencia: Escriba A= PDPT, con PT = P 1. Construya una matriz C diagonal tal que D = CTC, y sea B = PCPT. Demuestre que B funciona].
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27. Sean A y B matrices simétricas de n x n cuyos valores propios son todos positivos. Demuestre que todos los valores propios de A + B son positivos. [Sugerencia: Considere formas cuadráticas].
Get 7.2.27 exercise solution
28. Sea A una matriz simétrica e invertible de n n. Demuestre que si la forma cuadrática xTAx es positiva definida, entonces también lo es la forma cuadrática xTA 1x. [Sugerencia: Considere valores propios].
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