Describa
(o bosqueje) la envolvente convexa de S.
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2. Describa la envolvente convexa del conjunto S de puntos
en R 2 que satisfacen las condiciones indicadas. Justifique sus respuestas. (Demuestre que un punto arbitrario p en S pertenece a conv S).
a) y 1 x y x 1 2
b) y sen x
c) y x1 2 y x 0
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3. Considere los puntos del ejercicio 5 de la sección 8.1. ¿Cuáles de p1, p2 y p3 están en conv S?
Get 8.3.3 exercise solution
4. Considere los puntos del ejercicio 6 de la sección 8.1. ¿Cuáles de p1, p2 y p3 están en conv S?
Get 8.3.4 exercise solution
5. Sean
y sea S {v1, v2, v3, v4}. Determine si p1 y p2 están en conv S.
Get 8.3.5 exercise solution
ortogonal {v1, v2, v3}. Determine si cada pi está en Gen S, aff S o conv S. a) p1 b) p2 c) p3 d) p4
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Los ejercicios 7 a 10 utilizan la terminología de la sección 8.2.
Encuentre las coordenadas baricéntricas de p1, p2, p3 y p4 con respecto a T. b) Utilice sus respuestas del inciso a) para determinar si cada uno de p1,…, p4 en el inciso a) está dentro, fuera o en la arista de conv T, una región triangular.
Get 8.3.7 exercise solution
Get 8.3.8 exercise solution
9. Sea S {v1, v2, v3, v4} un conjunto afínmente independiente. Considere los puntos p1,…, p5, cuyas coordenadas baricéntricas con respecto a S están dadas por (2, 0, 0, - 1),( 0; 1/ 2; 1/ 4; 1 /4) (1/2;0;3/2; -1)( 1/3; 1/ 4; 1/ 4; 1/ 6) y ( 1/ 3;0;2/ 3;0 ), respectivamente. Deter-mine si cada uno de p1,…, p5 está dentro, fuera o sobre la superficie de conv S, un tetraedro. ¿Algunos de esos puntos están en la arista de conv S?
Get 8.3.9 exercise solution
10. Repita el ejercicio 9 para los puntos q1,…, q5 cuyas coordenadas baricéntricas con respecto a S están dadas por ( 1/ 8; 1/ 4; 1/ 8; 1/ 2) , (3 /4; 1/ 4;0;1 /2)( 0; 3 /4; 1/ 4;0) (0; 2;0;3) y ( 1/ 3; 1/3; 1/3;0) , respectivamente.
Get 8.3.10 exercise solution
En los ejercicios 11 y 12, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.
11. a) Si y c1v1 c2v2 c3v3 y c1 c2 c 3 1, entonces y es una combinación convexa de v1, v2 y v3. b) Si S es un conjunto no vacío, entonces conv S contiene algunos puntos que no están en S. c) Si S y T son conjuntos convexos, entonces S x T también es convexo.
Get 8.3.11 exercise solution
12. a) U n conjunto es convexo si x, y H S implica que el segmento de recta entre x y y está contenido en S. b) Si S y T son conjuntos convexos, entonces S y T también es convexo.
c) Si S es un subconjunto no vacío de R5 y y E conv S, entonces existen distintos puntos v1,…, v6 en S tales que y es una combinación convexa de v1,…, v6.
Get 8.3.12 exercise solution
13. Sea S un subconjunto convexo de Rn y suponga que f : Rn -> R m es una transformación lineal. Demuestre que el conjunto f(S) = {f(x): x E S} es un subconjunto convexo de R m.
Get 8.3.13 exercise solution
14. Sean f : R n -> R m una transformación lineal y T un subconjunto convexo de m. Demuestre que el conjunto S {x E R n : f(x) E T} es un subconjunto convexo de Rn.
Get 8.3.14 exercise solution
Utilice el procedimiento de la demostración del teorema de Caratheodory para expresar p como una combinación convexa de tres de las vi. Haga esto de dos formas.
Get 8.3.15 exercise solution
En los ejercicios 17 a 20, demuestre el enunciado en cuestión respecto de los subconjuntos A y B de n. Una demostración para un ejercicio puede emplear resultados de ejercicios anteriores.
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17. Si A ( B y B es convexo, entonces conv A ( B
Get 8.3.17 exercise solution
18. Si A ( B, entonces conv A ( conv B.
Get 8.3.18 exercise solution
19. a) [(conv A) x (conv B)] ( conv (A x B)
b) Encuentre un ejemplo en R2 para demostrar que la igualdad no necesariamente es válida en el inciso a).
Get 8.3.19 exercise solution
20. a) conv (A y B) ( [(conv A) y (conv B)] b) Encuentre un ejemplo en R2 para probar que la igualdad no necesita ser válida en el inciso a).
Get 8.3.20 exercise solution
21. Considere que p0, p1 y p2 son puntos en R n, y defina f0(t)=(1-t)P0+tP1, f1(t)= (1-t)P1 +tP2 y g(t)=(1-t)f0(t) + tf1(t) para 0 <= t <= 1. Para los puntos que se muestran en la siguiente figura, realice un esquema que muestre f0( 1/2).f1( 1/2 ) y g(1/2)
Get 8.3.21 exercise solution
22. Repita el ejercicio 21 para f 0 (3/ 4), f 1( 3/4) y g( 3/4 ).
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23. Sea g(t) como se define en el ejercicio 21. Su gráfica se llama curva cuadrática de Bézier, y se utiliza en algunos diseños de gráficos computacionales. Los puntos p0, p1 y p2 se llaman puntos de control de la curva. Calcule una fórmula para g(t) que implique solamente a p0, p1 y p2. Después, demuestre que g(t) está en conv {p0, p1, p2} para 0 <= t <= 1.
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24. Dados los puntos de control p0, p1, p2 y p3 en n, sea g1(t) para 0 <= t <= 1 la curva cuadrática de Bézier del ejercicio 23 determinada por p0, p1 y p2, y sea g2(t) definida de manera similar para p1, p2 y p3. Para 0 <= t <= 1, defina h(t) = (1- t)g1(t)+ tg2(t). Demuestre que la gráfica de h(t) está en la envolvente convexa de los cuatro puntos de control. A esta curva se le llama curva cúbica de Bézier, y su definición aquí es un paso en un algoritmo para construir curvas de Bézier (analizadas en la sección 8.6). Una curva de Bézier de grado k se determina por k
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