Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 7. Section 7.1 Solutions

En los ejercicios 1 a 6, determine cuáles matrices son simétricas
 
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En los ejercicios 7 a 12, determine qué matrices son ortogonales. Si alguna es ortogonal, encuentre su inversa.



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En los ejercicios 13 a 22, diagonalice ortogonalmente las matrices, dando una matriz ortogonal P y una matriz diagonal D. Para ahorrarle tiempo, los valores propios en los ejercicios 17 a 22 son:
(17) 5, 2, 2; (18) 25, 3, 50; (19) 7, 2; (20) 13, 7, 1; (21) 9, 5, 1; (22) 2, 0.


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23. Sean


 Compruebe que 2 es  un valor propio de A y v un vector propio. Después, diagonalice A ortogonalmente. 
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 24. Sean

Compruebe que v1 y v2 son vectores propios de A. Después diagonalice A ortogonalmente.
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En los ejercicios 25 y 26, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.


25. a)  Una matriz de n n que es diagonalizable ortogonalmente debe ser simétrica. b) Si AT A y si los vectores u y v satisfacen Au 3u y Av 4v, entonces u v 0. c) Una matriz simétrica de n n tiene n valores propios reales distintos. d) Para v diferente de cero en n, la matriz vvT es una matriz de proyección.
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26. a) Cada matriz simétrica es diagonalizable ortogonalmente. b) Si B PDPT, donde PT P 1 y D es una matriz diagonal, entonces B es una matriz simétrica. c) Una matriz ortogonal es diagonalizable ortogonalmente. d) La dimensión de un espacio propio de una matriz simétrica es igual a la multiplicidad del valor propio correspondiente.
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27. Suponga que A es una matriz simétrica de n n, y B es cualquier matriz de n x m. Demuestre que BTAB, BTB y BBT son matrices simétricas.
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28. Demuestre que si A es una matriz simétrica de n n, entonces (Ax) y x (Ay) para toda x, y en Rn.
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29. Suponga que A es invertible y diagonalizable ortogonalmente. Explique por qué A 1 también es diagonalizable ortogonalmente.
Get 7.1.29 exercise solution


30. Suponga que tanto A como B son diagonalizables ortogonalmente y que AB BA. Explique por qué AB también es diagonalizable ortogonalmente.
Get 7.1.30 exercise solution



31. Sean A = PDP- 1, donde P es ortogonal y D es diagonal, y l es un valor propio de A de multiplicidad k. Entonces l se presenta k veces sobre la diagonal de D. Explique por qué la dimensión del espacio propio para l es k. 
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32. Suponga que A = PRP- 1, donde P es ortogonal y R es triangular superior. Demuestre que si A es simétrica, entonces R es simétrica y, por lo tanto, realmente es una matriz diagonal.
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33. Construya una descomposición espectral de A del ejemplo 2.
Get 7.1.33 exercise solution


34. Construya una descomposición espectral de A del ejemplo 3.
Get 7.1.34 exercise solution


35. Sea u el vector unitario en R n, y sea B = uuT.
a) Dada cualquier x en n, calcule Bx y demuestre que Bx es la proyección ortogonal de x sobre u, como se describió en la sección 6.2. b) Demuestre que B es una matriz simétrica y que B2 B. c) Demuestre que u es un vector propio de B. ¿Cuál es el valor propio correspondiente?
Get 7.1.35 exercise solution


36. Sea B una matriz simétrica de n x n tal que B2 = B. Cualquier matriz de este tipo se conoce como matriz de proyección (o matriz de proyección ortogonal). Para cualquier y en n, sean yˆ = By y z = y- yˆ. a) Demuestre que z es ortogonal a yˆ. b) Sea W el espacio columna de B. Demuestre que y es la suma de un vector en W y de un vector en W . ¿Por qué esto demuestra que By es la proyección ortogonal de y sobre el espacio columna de B?
Get 7.1.36 exercise solution


[M] En los ejercicios 37 a 40, diagonalice ortogonalmente las matrices indicadas. Para practicar los métodos de esta sección, no utilice la rutina de vectores propios de su programa de matrices. En vez de ello, aplique el programa para encontrar los valores propios, y para cada valor propio l, obtenga una base ortonormal para Nul(A- lI), como en los ejemplos 2 y 3.
Get 7.1.37 exercise solution


Get 7.1.38 exercise solution




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Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 6. Section 6.1 Solutions

En los ejercicios 1 a 8, determine las cantidades indicadas utilizando
los vectores
















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Get 6.1.3 exercise solution





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Get 6.1.8 exercise solution


En los ejercicios 9 a 12, obtenga un vector unitario en la dirección
del vector indicado.


Get 6.1.9 exercise solution







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Get 6.1.12 exercise solution


13. Encuentre la distancia entre






Get 6.1.13 exercise solution



14. Calcule la distancia entre





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En los ejercicios 15 a 18, determine qué pares de vectores son ortogonales.





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Get 6.1.17 exercise solution








Get 6.1.18 exercise solution


En los ejercicios 19 y 20, todos los vectores están en n. Marque
cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.

19. a) v v v 2.
b) Para cualquier escalar c, u (cv) c(u v).
c) Si la distancia de u a v es igual a la distancia de u a v,
entonces u y v son ortogonales.
d) Para una matriz cuadrada A, los vectores en Col A son ortogonales
a los vectores en Nul A.
e) Si los vectores v1,…, vp generan un subespacio W y si x es
ortogonal a cada vj para j 1,…, p, entonces x está en W .

Get 6.1.19 exercise solution


20. a) u v -v u 0.
b) Para cualquier escalar c, cv c v .
c) Si x es ortogonal a cada vector en un subespacio W, entonces
x está en W .
d) Si u 2 v 2 u v 2, entonces u y v son ortogonales.
e) Si A es una matriz de m n, los vectores en el espacio nulo
de A son ortogonales a los vectores en el espacio fila de A.
Get 6.1.20 exercise solution


21. Utilice la definición de transpuesta del producto interior para
comprobar los incisos b) y c) del teorema 1. Mencione los
hechos pertinentes del capítulo 2.
Get 6.1.21 exercise solution


22. Sea u (u1, u2, u3). Explique por qué u u 0. ¿Cuándo
u u 0?
Get 6.1.22 exercise solution


23. Sean

 Calcule y compare u v, u 2,
v 2 y u v 2. No utilice el teorema de Pitágoras.
 Get 6.1.23 exercise solution


24. Compruebe la ley del paralelogramo para vectores u y v en n:
u v 2 u v 2 2 u 2 2 v 2
Get 6.1.24 exercise solution


25. Sea

Describa el conjunto H de vectores
que son ortogonales a v. [Sugerencia: Considere v 0 y v      0]
 Get 6.1.25 exercise solution


26. Sean

y W el conjunto de todas las x en 3 tales
que u x 0. ¿Qué teorema del capítulo 4 se puede utilizar
para demostrar que W es un subespacio de R3? Describa a W en
lenguaje geométrico.
 Get 6.1.26 exercise solution


27. Suponga que un vector y que es ortogonal a los vectores u y v.
Demuestre que y es ortogonal al vector u v.
Get 6.1.27 exercise solution


28. Suponga que y es ortogonal a u y v. Demuestre que y es ortogonal
a cada w en Gen {u, v}. [Sugerencia: Una w arbitraria en
Gen {u, v} tiene la forma w c1u c2v. Demuestre que y es
ortogonal a dicho vector w].

Get 6.1.28 exercise solution

29. Sea W Gen {v1,…, vp}. Demuestre que si x es ortogonal
a cada vj, para 1  j  p, entonces x es ortogonal a todo vector
en W.
Get 6.1.29 exercise solution


30. Sean W un subespacio de n, y W el conjunto de todos los
vectores ortogonales a W. Demuestre que W es un subespacio
de n, considerando los siguientes pasos.
a) Tome z en W , y sea u cualquier elemento de W. Entonces
z u 0. Tome cualquier escalar c y demuestre que cz es
ortogonal a u. (Puesto que u era un elemento arbitrario de
W, esto demostrará que cz está en W ).
b) Tome z1 y z2 en W , y sea u cualquier elemento de W.
Demuestre que z1 z2 es ortogonal a u. ¿Qué se puede
concluir acerca de z1 z2? ¿Por qué?
c) Termine la demostración de que W es un subespacio de
R n.
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31. Demuestre que si x está en W y W , entonces x 0.
Get 6.1.31 exercise solution

32. [M] Construya un par u, v de vectores aleatorios en 4, y sea

a) Denote las columnas de A como a1,…, a4. Obtenga la longitud
de cada columna, y calcule a1 a2, a1 a3, a1 a4, a2 a3,
a2 a4 y a3 a4.
b) Calcule y compare las longitudes de u, Au, v y Av.
c) Utilice la ecuación (2) de esta sección para calcular el coseno
del ángulo entre u y v. Compare esto con el coseno del
ángulo entre Au y Av.
d) Repita los incisos b) y c) para otros dos pares de vectores
aleatorios. ¿Qué se puede suponer del efecto de A sobre los
vectores?
 Get 6.1.32 exercise solution



 33. [M] Genere vectores aleatorios x, y y v en 4 con entradas enteras
(y v      0), y calcule las cantidades

 Repita los cálculos con nuevos vectores aleatorios x y y.
¿Qué se puede suponer acerca del mapeo

(para v      0)? Compruebe su suposición algebraicamente.
Get 6.1.33 exercise solution




Construya
una matriz N cuyas columnas formen una base para Nul A, y
elabore una matriz R cuyas filas formen una base para Fil A
(para detalles, véase la sección 4.6). Efectúe un cálculo matricial
con N y R que muestre un hecho del teorema 3.

Get 6.1.34 exercise solution