Get 1.7.1 exercise solution
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En los ejercicios 5 a 8, determine si las columnas de la matriz forman un conjunto linealmente independiente. Justifique sus respuestas.
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Get 1.7.8 exercise solution
En los ejercicios 9 y 10, a) ¿para qué valores de h está v3 en Gen {v1, v2}, y b) ¿para qué valores de h el conjunto {v1, v2, v3} es linealmente dependiente? Justifique sus respuestas.
Get 1.7.9 exercise solution
Get 1.7.10 exercise solution
En los ejercicios 11 a 14, encuentre el valor o valores de h para los cuales los vectores son linealmente dependientes. Justifique sus respuestas.
Get 1.7.11 exercise solution
Get 1.7.12 exercise solution
Get 1.7.13 exercise solution
Get 1.7.14 exercise solution
Por inspección, determine si los vectores en los ejercicios 15 a 20 son linealmente independientes. Justifique sus respuestas.
Get 1.7.15 exercise solution
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Get 1.7.18 exercise solution
Get 1.7.19 exercise solution
Get 1.7.20 exercise solution
En los ejercicios 21 y 22, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique cada respuesta con base en una cuidadosa lectura del texto.
21. a) Las columnas de una matriz A son linealmente independientes si la ecuación Ax 0 tiene la solución trivial.
b) Si S es un conjunto linealmente dependiente, entonces cada vector es una combinación lineal de los otros vectores en S.
c) Las columnas de cualquier matriz de 4 5 son linealmente dependientes.
d) Si x y y son linealmente independientes, y si {x, y, z} es linealmente dependiente, entonces z está en Gen {x, y}.
Get 1.7.21 exercise solution
22. a) Si u y v son linealmente independientes, y si w está en Gen {u, v}, entonces {u, v, w} es linealmente dependiente.
b) Si tres vectores en 3 están en el mismo plano en R3, entonces son linealmente dependientes.
c) Si un conjunto contiene menos vectores que entradas en los vectores, entonces el conjunto es linealmente independiente.
d) Si un conjunto en n es linealmente dependiente, entonces el conjunto contiene más de n vectores.
Get 1.7.22 exercise solution
En los ejercicios 23 a 26, describa las posibles formas escalonadas de la matriz. Utilice la notación del ejemplo 1 de la sección 1.2.
23. A es una matriz de 2 2 con columnas linealmente dependientes. Get 1.7.23 exercise solution
24. A es una matriz de 3 3 con columnas linealmente independientes. Get 1.7.24 exercise solution
25. A es una matriz de 4 2, A [a1 a2], y a2 no es múltiplo de a1. Get 1.7.25 exercise solution
26. A es una matriz de 4 3, A [a1 a2 a3], tal que {a1, a2} es linealmente independiente y a3 no está en Gen {a1, a2}. Get 1.7.26 exercise solution
27. ¿Cuántas columnas pivote debe tener una matriz de 6 4 si sus columnas son linealmente independientes? ¿Por qué? Get 1.7.27 exercise solution
28. ¿Cuántas columnas pivote debe tener una matriz de 4 6 si sus columnas generan a 4? ¿Por qué? Get 1.7.28 exercise solution
29. Construya matrices A y B de 3 2 tales que Ax 0 tenga una solución no trivial, pero Bx 0 tenga solamente la solución trivial. Get 1.7.29 exercise solution
30. a) Llene el espacio del siguiente enunciado: “Si A es una matriz de m n, entonces las columnas de A son linealmente independientes si y solo si A tiene ______ columnas pivote”.
b) Explique por qué es verdadero el enunciado en a). Get 1.7.30 exercise solution
Los ejercicios 31 y 32 deberían resolverse sin efectuar operaciones de fila. [Sugerencia: Escriba Ax 0 como una ecuación vectorial].
31. A partir de
observe que la tercera columnaves la suma de las dos primeras. Encuentre una soluciónvno trivial de Ax = 0. Get 1.7.31 exercise solution
32. A partir de
observe que la primera columna menos la segunda multiplicada por 3 es igual a la tercera
columna. Determine una solución no trivial de Ax= 0.
En los ejercicios 33 a 38 cada enunciado es verdadero (en todos los casos) o falso (para al menos un ejemplo). Si es falso, idee un ejemplo específico para demostrar que el enunciado no siempre es válido.
Tal ejemplo se llama contraejemplo del enunciado. Si un enunciado es verdadero, dé una justificación. (Un ejemplo específico no puede explicar por qué un enunciado siempre es verdadero. Aquí es necesario realizar más trabajo que en los ejercicios 21 y 22). Get 1.7.32 exercise solution
33. Si v1,…, v4 están en R 4, y v3 2v1 v2, entonces {v1, v2, v3, v4} es linealmente dependiente. Get 1.7.33 exercise solution
34. Si v1 y v2 están en R 4 y v2 no es un múltiplo escalar de v1, entonces {v1, v2} es linealmente independiente. Get 1.7.34 exercise solution
35. Si v1,…, v5 están en R 5 y v3 0, entonces {v1, v2, v3, v4, v5} es linealmente dependiente. Get 1.7.35 exercise solution
36. Si v1, v2, v3 están en R 3 y v3 no es combinación lineal de v1, v2, entonces {v1, v2, v3} es linealmente independiente. Get 1.7.36 exercise solution
37. Si v1,…, v4 están en R 4, y {v1, v2, v3} es linealmente dependiente, entonces {v1, v2, v3, v4} también es linealmente dependiente. Get 1.7.37 exercise solution
38. Si {v1,…, v4} es un conjunto linealmente independiente de vectores en 4, entonces {v1, v2, v3} también es linealmente independiente. [Sugerencia: Piense en x1v1 x2v2 + x3v3+ 0 . v4 = 0]. Get 1.7.38 exercise solution
39. Suponga que A es una matriz de m n tal que para toda b en m la ecuación Ax = b tiene, a lo sumo, una solución. Get 1.7.39 exercise solution
Use la definición de independencia lineal para explicar por
qué las columnas de A deben ser linealmente independientes.
40. Suponga que una matriz A de m n tiene n columnas pivote.
Explique por qué para cada b en m la ecuación Ax = b tiene,a lo sumo, una solución. [Sugerencia: Explique por qué Ax = b no puede tener un número infinito de soluciones].
[M] En los ejercicios 41 y 42, utilice tantas columnas de A como sea posible para construir una matriz B tal que la ecuación Bx =0 sólo tenga la solución trivial. Para comprobar su trabajo, resuelva
Bx= 0.
Get 1.7.40 exercise solution
Get 1.7.41 exercise solution
Get 1.7.42 exercise solution
43. [M] Con A y B del ejercicio 41, seleccione una columna v de A que no se haya utilizado en la construcción de B y determine si v está en el conjunto generado por las columnas de B. (Describa
sus cálculos). Get 1.7.43 exercise solution
44. [M] Repita el ejercicio 43 con las matrices A y B del ejercicio 42 Luego, dé una explicación del resultado, suponiendo que B se construyó de acuerdo con las especificaciones. Get 1.7.44 exercise solution
