En los ejercicios 1 y 2, calcule cada suma o producto si la matriz
está definida. Si alguna expresión no está definida, explique por qué.
Sean
1. 2A, B 2A, AC, CD Get 2.1.1 exercise solution
2. A 3B, 2C 3E, DB, EC Get 2.1.2 exercise solution
En lo que resta de este conjunto de ejercicios y los que siguen, suponga
que todas las expresiones matriciales están definidas. Es decir,
los tamaños de las matrices y los vectores implicados “ajustan” de
manera correcta.
Get 2.1.3 exercise solution
Get 2.1.4 exercise solution
En los ejercicios 5 y 6 calcule el producto AB de dos maneras: a) con
la definición, donde Ab1 y Ab2 se calculan por separado, y b) por la
regla de la fila-columna para obtener AB.
Get 2.1.5 exercise solution
Get 2.1.6 exercise solution
7. Si A es una matriz de 5 3 y el producto AB es 5 7, ¿cuál es
el tamaño de B?
Get 2.1.7 exercise solution
8. ¿Cuántas filas tiene B si BC es una matriz de 5 4? Get 2.1.8 exercise solution
Get 2.1.9 exercise solution
Get 2.1.10 exercise solution
AD y DA. Explique cómo cambian las columnas o filas de A
cuando se multiplica por D por la derecha o por la izquierda.
Encuentre una matriz B de 3 3, que no sea la matriz identidad
o la matriz cero, tal que AB BA.
Get 2.1.11 exercise solution
Construya una matriz B de 2 2 tal
que AB sea igual a la matriz cero. Utilice para B dos diferentes
columnas no nulas (distintas de cero).
Get 2.1.12 exercise solution
13. Sean r1,…, rp vectores en n, y sea Q una matriz de m n.
Escriba la matriz [Qr1 Qrp] como un producto de dos
matrices (ninguna de ellas igual a la matriz identidad).
Get 2.1.13 exercise solution
14. Sea U la matriz de 3 2 de costos descrita en el ejemplo 6
de la sección 1.8. La primera columna de U lista los costos
por dólar de producción para elaborar el producto B, y la segunda
columna lista los costos por dólar de producción para
el artículo C. (Los costos están por categorías de materiales,
mano de obra y gastos indirectos). Sea q1 un vector en 2
que liste la producción (medida en dólares) de los productos B
y C manufacturados durante el primer trimestre del año, y
sean q2, q3 y q4 los vectores análogos que listan las cantidades
de productos B y C manufacturados en el segundo,
tercero y cuarto trimestres, respectivamente. Dé una descripción
económica de los datos en la matriz UQ, donde
Q {q1 q2 q3 q4}.
Los ejercicios 15 y 16 tratan de matrices arbitrarias A, B y C para
las cuales las sumas y los productos indicados están definidos.
Marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus
respuestas.
Get 2.1.14 exercise solution
15. a) Si A y B son matrices de 2 2 con columnas a1, a2 y b1, b2,
respectivamente, entonces AB [a1b1 a2b2].
b) Cada columna de AB es una combinación lineal de las columnas
de B usando los pesos de la columna correspondiente
de A.
c) AB AC A(B C)
d) AT BT (A B)T
e) La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto
de sus transpuestas en el mismo orden.
Get 2.1.15 exercise solution
16. a) La primera fila de AB es la primera fila de A multiplicada
por B por la derecha.
b) Si A y B son matrices de 3 3 y B [b1 b2 b3], entonces
AB [Ab1 Ab2 Ab3].
c) Si A es una matriz de n n, entonces (A2)T (AT)2
d) (ABC)T CTATBT
e) La transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma
de sus transpuestas.
Get 2.1.16 exercise solution
Get 2.1.17 exercise solution
18. Suponga que la tercera columna de B está conformada en su
totalidad por ceros. ¿Qué se puede decir acerca de la tercera
columna de AB?
Get 2.1.18 exercise solution
19. Suponga que la tercera columna de B es la suma de las dos primeras
columnas. ¿Qué se puede decir acerca de la tercera columna
de AB? ¿Por qué?
Get 2.1.19 exercise solution
20. Suponga que las dos primeras columnas de B, b1 y b2, son
guales. ¿Qué se puede decir acerca de las columnas de AB?
¿Por qué?
Get 2.1.20 exercise solution
21. Suponga que la última columna de AB está conformada en su
totalidad por ceros, pero B, por sí sola, no tiene columnas de
ceros. ¿Qué se puede decir acerca de las columnas de A?
Get 2.1.21 exercise solution
22. Demuestre que si las columnas de B son linealmente dependientes,
entonces también lo son las columnas de AB.
Get 2.1.22 exercise solution
23. Suponga que CA In (la matriz identidad de n n). Demuestre
que la ecuación Ax 0 tiene únicamente la solución trivial.
Explique por qué A no puede tener más columnas que filas.
Get 2.1.23 exercise solution
24. Suponga que A es una matriz de 3 n cuyas columnas generan
a 3. Explique cómo construir una matriz D de n 3
tal que AD I3.
Get 2.1.24 exercise solution
25. Suponga que A es una matriz de m n, y que existan las matrices
C y D de n m, tales que CA In y AD Im. Demuestre
que m n y C D. [Sugerencia: Piense en el producto
CAD]. Get 2.1.25 exercise solution
26. Suponga que AD Im (la matriz identidad de m m). Demuestre
que para toda b en m, la ecuación Ax b tiene una
solución. [Sugerencia: Piense en la ecuación ADb b]. Explique
por qué A no puede tener más filas que columnas.
En los ejercicios 27 y 28, considere los vectores en n como matrices
de n 1. Para u y v en n, el producto de matrices uTv es una
matriz de 1 1, que se llama producto escalar, o producto interno,
de u y v. Por lo general, se escribe como un único número real sin
corchetes. El producto de matrices uvT es una matriz de n n, que
se llama producto exterior de u y v. Los productos uTv y uvT se
presentarán más adelante en el libro. Get 2.1.26 exercise solution
Get 2.1.27 exercise solution
28. Si u y v están en n, ¿cómo se relacionan uTv y vTu? ¿Y cómo
se relacionan uvT y vuT? Get 2.1.28 exercise solution
29. Compruebe el teorema 2b) y 2c). Use la regla fila-columna.
La entrada (i, j) de A(B C) se puede escribir como
ai1(b1j c1j) ain(bnj cnj)
Get 2.1.29 exercise solution
30. Compruebe el teorema 2d). [Sugerencia: La entrada (i, j) en
(rai1)b1j (rain)bnj].
Get 2.1.30 exercise solution
31. Demuestre que ImA A, donde A es una matriz de m n.
Suponga que Imx x para toda x en Rm.
Get 2.1.31 exercise solution
32. Demuestre que AI A cuando A es una matriz de m n.
[Sugerencia: Use la definición (de columna) de AIn].
Get 2.1.32 exercise solution
33. Demuestre el teorema 3d). [Sugerencia: Considere la j-ésima
fila de (AB)T].
Get 2.1.33 exercise solution
34. Dé una fórmula para (ABx)T, donde x es un vector, y A y B son
matrices con los tamaños adecuados.
Get 2.1.34 exercise solution
35. [M] Lea la documentación de su programa de matrices y escriba
los comandos que producirían las siguientes matrices (sin introducir
cada entrada de la matriz).
a) Una matriz de 4 5 de ceros.
b) Una matriz de 5 3 de unos.
c) La matriz identidad de 5 5.
d) Una matriz diagonal de 4 4, con entradas diagonales 3,
4, 2, 5.
Una forma útil de someter a prueba ideas nuevas o de hacer conjeturas
en álgebra de matrices es realizar cálculos con matrices seleccionadas
en forma aleatoria. La comprobación de una propiedad
para unas cuantas matrices no demuestra que la propiedad sea válida
en general, pero permite que la propiedad sea más creíble. Además,
es posible descubrir si una propiedad es falsa realizando unos cuantos
cálculos.
Get 2.1.35 exercise solution
36. [M] Escriba el comando o los comandos necesarios para crear
una matriz de 5 6 con entradas aleatorias. ¿Dentro de qué
rango de números se encuentran las entradas? Diga cómo crear
aleatoriamente una matriz de 4 4 con entradas enteras entre
9 y 9. [Sugerencia: Si x es un número aleatorio tal que
0 x 1, entonces 9.5 19(x .5) 9.5].
Get 2.1.36 exercise solution
37. [M] Construya matrices aleatorias A y B de 4 4, y compruebe
si AB BA. La mejor manera de hacer esto es calcular
AB BA y comprobar si esta diferencia es la matriz cero. Después
compruebe AB BA para tres pares más de matrices aleatorias
de 4 4. Escriba un informe de sus conclusiones.
Get 2.1.37 exercise solution
38. [M] Construya una matriz aleatoria A de 5 5 y compruebe
si (A I )(A I ) A2 I. La mejor manera de hacer esto es
calcular (A I)(A I) (A2 I), y verificar que esta diferencia
sea la matriz cero. Realícelo para tres matrices al azar.
Luego, someta a prueba (A B)(A B) A2 B2 de la misma
forma para tres pares de matrices aleatorias de 4 4. Escriba un
informe de sus conclusiones.
Get 2.1.38 exercise solution
39. [M] Use al menos tres pares de matrices aleatorias A y B de
4 4 para someter a prueba las igualdades (A B)T AT BT
y (AB)T BTAT, así como (AB)T ATBT (Véase el ejercicio 37).
Escriba un informe de sus conclusiones. [Nota: La mayoría de
los programas de matrices usan A para representar AT ].
Get 2.1.39 exercise solution
Get 2.1.40 exercise solution
Get 2.1.41 exercise solution
