Soluciones Algebra Lineal y sus Aplicaciones - Linear Algebra and its Applications

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 8. Section 8.6 Solutions

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 8. Section 8.5 Solutions

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 8. Section 8.4 Solutions

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 8. Section 8.3 Solutions

1. En R2,

Describa
(o bosqueje) la envolvente convexa de S.
Get 8.3.1 exercise solution

2. Describa la envolvente convexa del conjunto S de puntos

en R 2 que satisfacen las condiciones indicadas. Justifique sus respuestas. (Demuestre que un punto arbitrario p en S pertenece a conv S).
a) y 1 x y x 1 2
b) y sen x
c) y x1 2 y x 0

Get 8.3.2 exercise solution

3. Considere los puntos del ejercicio 5 de la sección 8.1. ¿Cuáles de p1, p2 y p3 están en conv S?
Get 8.3.3 exercise solution

4. Considere los puntos del ejercicio 6 de la sección 8.1. ¿Cuáles de p1, p2 y p3 están en conv S?
Get 8.3.4 exercise solution

5. Sean

y sea S {v1, v2, v3, v4}. Determine si p1 y p2 están en conv S.

Get 8.3.5 exercise solution

ortogonal {v1, v2, v3}. Determine si cada pi está en Gen S, aff S o conv S. a) p1 b) p2 c) p3 d) p4
Get 8.3.6 exercise solution

Los ejercicios 7 a 10 utilizan la terminología de la sección 8.2.

Encuentre las coordenadas baricéntricas de p1, p2, p3 y p4 con respecto a T. b) Utilice sus respuestas del inciso a) para determinar si cada uno de p1,…, p4 en el inciso a) está dentro, fuera o en la arista de conv T, una región triangular.

Get 8.3.7 exercise solution

Get 8.3.8 exercise solution

9. Sea S {v1, v2, v3, v4} un conjunto afínmente independiente. Considere los puntos p1,…, p5, cuyas coordenadas baricéntricas con respecto a S están dadas por (2, 0, 0, - 1),( 0; 1/ 2; 1/ 4; 1 /4) (1/2;0;3/2; -1)( 1/3; 1/ 4; 1/ 4; 1/ 6) y ( 1/ 3;0;2/ 3;0 ), respectivamente. Deter-mine si cada uno de p1,…, p5 está dentro, fuera o sobre la superficie de conv S, un tetraedro. ¿Algunos de esos puntos están en la arista de conv S?
Get 8.3.9 exercise solution

10. Repita el ejercicio 9 para los puntos q1,…, q5 cuyas coordenadas baricéntricas con respecto a S están dadas por ( 1/ 8; 1/ 4; 1/ 8; 1/ 2) , (3 /4; 1/ 4;0;1 /2)( 0; 3 /4; 1/ 4;0) (0; 2;0;3) y ( 1/ 3; 1/3; 1/3;0) , respectivamente.
Get 8.3.10 exercise solution

En los ejercicios 11 y 12, marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.

11. a) Si y c1v1 c2v2 c3v3 y c1 c2 c 3 1, entonces y es una combinación convexa de v1, v2 y v3. b) Si S es un conjunto no vacío, entonces conv S contiene algunos puntos que no están en S. c) Si S y T son conjuntos convexos, entonces S x T también es convexo.
Get 8.3.11 exercise solution

12. a) U n conjunto es convexo si x, y H S implica que el segmento de recta entre x y y está contenido en S. b) Si S y T son conjuntos convexos, entonces S y T también es convexo.
c) Si S es un subconjunto no vacío de R5 y y E conv S, entonces existen distintos puntos v1,…, v6 en S tales que y es una combinación convexa de v1,…, v6.
Get 8.3.12 exercise solution

13. Sea S un subconjunto convexo de Rn y suponga que f : Rn -> R m es una transformación lineal. Demuestre que el conjunto f(S) = {f(x): x E S} es un subconjunto convexo de R m.
Get 8.3.13 exercise solution

14. Sean f : R n -> R m una transformación lineal y T un subconjunto convexo de m. Demuestre que el conjunto S {x E R n : f(x) E T} es un subconjunto convexo de Rn.
Get 8.3.14 exercise solution

Utilice el procedimiento de la demostración del teorema de Caratheodory para expresar p como una combinación convexa de tres de las vi. Haga esto de dos formas.
Get 8.3.15 exercise solution

En los ejercicios 17 a 20, demuestre el enunciado en cuestión respecto de los subconjuntos A y B de n. Una demostración para un ejercicio puede emplear resultados de ejercicios anteriores.
Get 8.3.16 exercise solution

17. Si A ( B y B es convexo, entonces conv A ( B
Get 8.3.17 exercise solution

18. Si A ( B, entonces conv A ( conv B.
Get 8.3.18 exercise solution

19. a) [(conv A) x (conv B)] ( conv (A x B)
b) Encuentre un ejemplo en R2 para demostrar que la igualdad no necesariamente es válida en el inciso a).
Get 8.3.19 exercise solution

20. a) conv (A y B) ( [(conv A) y (conv B)] b) Encuentre un ejemplo en R2 para probar que la igualdad no necesita ser válida en el inciso a).
Get 8.3.20 exercise solution

21. Considere que p0, p1 y p2 son puntos en R n, y defina f0(t)=(1-t)P0+tP1, f1(t)= (1-t)P1 +tP2 y g(t)=(1-t)f0(t) + tf1(t) para 0 <= t <= 1. Para los puntos que se muestran en la siguiente figura, realice un esquema que muestre f0( 1/2).f1( 1/2 ) y g(1/2)

Get 8.3.21 exercise solution

22. Repita el ejercicio 21 para f 0 (3/ 4), f 1( 3/4) y g( 3/4 ).
Get 8.3.22 exercise solution

23. Sea g(t) como se define en el ejercicio 21. Su gráfica se llama curva cuadrática de Bézier, y se utiliza en algunos diseños de gráficos computacionales. Los puntos p0, p1 y p2 se llaman puntos de control de la curva. Calcule una fórmula para g(t) que implique solamente a p0, p1 y p2. Después, demuestre que g(t) está en conv {p0, p1, p2} para 0 <= t <= 1.
Get 8.3.23 exercise solution

24. Dados los puntos de control p0, p1, p2 y p3 en n, sea g1(t) para 0 <= t <= 1 la curva cuadrática de Bézier del ejercicio 23 determinada por p0, p1 y p2, y sea g2(t) definida de manera similar para p1, p2 y p3. Para 0 <= t <= 1, defina h(t) = (1- t)g1(t)+ tg2(t). Demuestre que la gráfica de h(t) está en la envolvente convexa de los cuatro puntos de control. A esta curva se le llama curva cúbica de Bézier, y su definición aquí es un paso en un algoritmo para construir curvas de Bézier (analizadas en la sección 8.6). Una curva de Bézier de grado k se determina por k + 1 puntos de control, y su gráfica está en la envolvente convexa de esos puntos de control.
Get 8.3.24 exercise solution

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 8. Section 8.2 Solutions

En los ejercicios 1 a 6, determine si el conjunto de puntos es afínmente
dependiente. (Véase el problema de práctica 2). Si es así, entonces
construya una relación de dependencia afín para los puntos.

Get 8.2.1 exercise solution

Get 8.2.2 exercise solution

Get 8.2.3 exercise solution

Get 8.2.4 exercise solution

Get 8.2.5 exercise solution

Get 8.2.6 exercise solution

En los ejercicios 7 y 8, encuentre las coordenadas baricéntricas de
p con respecto al conjunto de puntos afínmente independiente que
lo precede.

Get 8.2.7 exercise solution

Get 8.2.8 exercise solution

En los ejercicios 9 y 10, marque cada enunciado como verdadero
o falso. Justifique sus respuestas.

9. a) Si v1,…, vp están en n y si el conjunto {v1 v2, v3 v2,…,
vp v2} es linealmente dependiente, entonces {v1,…, vp} es
afínmente dependiente. (Lea esto con sumo cuidado).
b) Si v1,…, vp están en n y si el conjunto de formas homogéneas
fQ􀀏1; : : : ; Q􀀏pg en n 1 es linealmente independiente,
entonces {v1,…, vp} es afínmente dependiente.
c) Un conjunto finito de puntos {v1,…, vk} es afínmente dependiente
si existen números reales c1,…, ck, no todos ceros,
tales que c1 ck 1 y c1v1 ckvk 0.
d) Si S {v1,…, vp} en n es afínmente independiente y si p
en n tiene una coordenada baricéntrica negativa determinada
por S, entonces p no está en aff S.
e) Si v1, v2, v3, a y b están en 3 y si un rayo a tb para t 0
se interseca con el triángulo de vértices v1, v2 y v3, entonces
todas las coordenadas baricéntricas del punto de intersección
son no negativas.
Get 8.2.9 exercise solution

10. a) Si {v1,…, vp} en n es un conjunto afínmente dependiente,
entonces el conjunto fQ􀀏1; : : : ; Q􀀏pg en n 1 de formas homogéneas
puede ser linealmente independiente.
b) Si v1, v2, v3 y v4 están en 3 y si el conjunto {v2 v1,
v3 v1, v4 v1} es linealmente independiente, entonces
{v1,…, v4} es afínmente independiente.
c) Dado S {b1,…, bk} en n, cada p en aff S tiene representación
única como una combinación afín de b1,…, bk.
d) Cuando una información de color se especifica en cada vértice
v1, v2, v3 de un triángulo en 3, entonces el color se
puede interpolar en un punto p en aff {v1, v2, v3} empleando
las coordenadas baricéntricas de p.
e) Si T es un triángulo en 2 y si un punto p está sobre una
arista del triángulo, entonces no todas las coordenadas baricéntricas
de p (para este triángulo) son positivas.
Get 8.2.10 exercise solution

b) Si v1, v2, v3 y v4 están en 3 y si el conjunto {v2 v1,
v3 v1, v4 v1} es linealmente independiente, entonces
{v1,…, v4} es afínmente independiente.
c) Dado S {b1,…, bk} en n, cada p en aff S tiene representación
única como una combinación afín de b1,…, bk.
d) Cuando una información de color se especifica en cada vértice
v1, v2, v3 de un triángulo en 3, entonces el color se
puede interpolar en un punto p en aff {v1, v2, v3} empleando
las coordenadas baricéntricas de p.
e) Si T es un triángulo en 2 y si un punto p está sobre una
arista del triángulo, entonces no todas las coordenadas baricéntricas
de p (para este triángulo) son positivas.
Get 8.2.11 exercise solution

12. Demuestre que un conjunto {v1,…, vp} en n es afínmente dependiente
cuando p n 2.
Get 8.2.12 exercise solution

13. Utilice sólo la definición de dependencia afín para demostrar
que un conjunto indexado {v1, v2} en n es afínmente dependiente
si y solo si v1 v2.
Get 8.2.13 exercise solution

14. Las condiciones para dependencia afín son más estrictas que
para dependencia lineal, así que un conjunto afínmente dependiente,
de manera automática, es linealmente dependiente.
Además, un conjunto linealmente independiente no puede
ser afínmente dependiente y, por lo tanto, debe ser afínmente
independiente. Construya dos conjuntos indexados linealmente
dependientes S1 y S2 en 2 tales que S1 y S2 tengan dependencia
e independencia afines, respectivamente. En cada caso,
el conjunto deberá contener uno, dos o tres puntos diferentes
de cero.
Get 8.2.14 exercise solution

15. Sean

a) Demuestre que el conjunto S es afínmente independiente.
b) Encuentre las coordenadas baricéntricas de

c) Sea T el triángulo con vértices v1, v2 y v3. Cuando se extienden
los lados de T, las rectas dividen 2 en siete regiones.
Véase la figura 8. Observe los signos de las coordenadas
baricéntricas de los puntos en cada región. Por
ejemplo, p5 está dentro del triángulo T y todas sus coordenadas
baricéntricas son positivas. El punto p1 tiene coordenadas
( , , ). Su tercera coordenada es positiva
porque p1 está sobre el lado v3 de la recta que pasa por v1
y v2. Su primera coordenada es negativa porque p1 es opuesto
al lado v1 de la recta que pasa por v2 y v3. El punto p2 está
sobre la arista v2v3 de T. Sus coordenadas son (0, , ).
Sin calcular los valores reales, determine los signos de las
coordenadas baricéntricas de los puntos p6, p7 y p8 que se
muestran en la figura 8.

Get 8.2.15 exercise solution

16. Sean

a) Demuestre que el conjunto S es afínmente independiente.
b) Encuentre las coordenadas baricéntricas de p1, p2 y p3 con
respecto a S.
c) En papel milimétrico trace el triángulo T con vértices v1, v2
y v3, extienda los lados como en la figura 5, y trace los puntos
p4, p5, p6 y p7. Sin calcular los valores reales, determine
los signos de las coordenadas baricéntricas de los puntos p4,
p5, p6 y p7.
Get 8.2.16 exercise solution

17. Demuestre el teorema 6 para un conjunto afínmente independiente
S {v1,…, vk} en n. [Sugerencia: Un método es imitar
la demostración del teorema 7 de la sección 4.4].
Get 8.2.17 exercise solution

18. Sea T un tetraedro en posición “estándar”, con tres aristas a lo
largo de los tres ejes coordenados positivos en 3, y suponga
que los vértices son ae1, be2, ce3 y 0, donde [e1 e2 e3] I3.
Obtenga las fórmulas para las coordenadas baricéntricas de un
punto arbitrario p en 3.
Get 8.2.18 exercise solution

19. Sean {p1, p2, p3} un conjunto de puntos en n afínmente dependiente
y f : n S m una transformación lineal. Demuestre
que {f (p1), f (p2), f (p3)} es afínmente dependiente en m.
Get 8.2.19 exercise solution

20. Suponga que {p1, p2, p3} es un conjunto afínmente independiente
en n y que q es un punto arbitrario en n. Demuestre
que el conjunto trasladado {p1 q, p2 q, p3 q} también es
afínmente independiente.
En los ejercicios 21 a 24, a, b y c son puntos no colineales en 2
y p es cualquier otro punto en 2. Sea que
abc denote la región
triangular cerrada determinada por a, b y c, y sea
pbc la región determinada
por p, b y c. Por conveniencia, suponga que a, b y c se
arreglan de tal forma que 􀀠􀀡􀀮 OE Q􀀋 Q􀀌 Q􀀍 es positivo, donde Q􀀋􀀄 Q􀀌 y Q􀀍
son las formas homogéneas estándar de los puntos.
Get 8.2.20 exercise solution

21. Demuestre que el área de
abc es 􀀠􀀡􀀮 OE Q􀀋 Q􀀌 Q􀀍 =2. [Sugerencia:
Consulte las secciones 3.2 y 3.3, incluyendo los ejercicios].
Get 8.2.21 exercise solution

22. Sea p un punto sobre la recta que pasa por a y b. Demuestre que
􀀠􀀡􀀮 OE Q􀀋 Q􀀌 Q􀀏 D 0.
Get 8.2.22 exercise solution

23. Sea p cualquier punto interior de Δabc, con coordenadas baricéntricas
(r, s, t), de manera que

Utilice el ejercicio 19 y un hecho relacionado con determinantes
(capítulo 3) para demostrar que
r (área de pbc) (área de abc)
s (área de apc) (área de abc)
t (área de abp) (área de abc)
Get 8.2.23 exercise solution

24. Tome a q sobre el segmento de recta de b a c y considere
la recta que pasa por q y a, que se puede representar como
p (1 x)q xa para toda x real. Pruebe que, para cada x,
􀀠􀀡􀀮 OE Q􀀏 Q􀀌 Q􀀍 D x 􀀠􀀡􀀮 OE Q􀀋 Q􀀌 Q􀀍 . A partir de esto y de un
trabajo anterior, concluya que el parámetro x es la primera
coordenada baricéntrica de p. Sin embargo, por construcción,
el parámetro x también determina la distancia relativa entre
p y q sobre el segmento de q a a. (Cuando x 1, p a).
Cuando este resultado se aplica al ejemplo 5, demuestra que
los colores en el vértice a y el punto q se interpolan suavemente
conforme p se mueve a lo largo de la recta entre a y q.
Get 8.2.24 exercise solution

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 8. Section 8.1 Solutions

En los ejercicios 1 a 4, escriba y como una combinación afín de los
otros puntos indicados, si es posible.

Get 8.1.1 exercise solution

Get 8.1.2 exercise solution

Get 8.1.3 exercise solution

Get 8.1.4 exercise solution

y S {b1, b2, b3}. Observe que S es una base ortogonal para 3.
Escriba cada uno de los puntos dados como una combinación afín
de los puntos del conjunto S, si es posible. [Sugerencia: Para encontrar
los pesos, aplique el teorema 5 de la sección 6.2 en vez de la
reducción por filas].

Get 8.1.5 exercise solution

Get 8.1.6 exercise solution

7. Sean

y S {v1, v2, v3}. Es posible demostrar que S es linealmente
independiente.
a) ¿Está p1 en Gen S? ¿Se encuentra p1 en aff S?
b) ¿Se encuentra p2 en Gen S? ¿Está p2 en aff S?
c) ¿Está p3 en Gen S? ¿Se encuentra p3 en aff S?
Get 8.1.7 exercise solution

8. Repita el ejercicio 7 considerando

Get 8.1.8 exercise solution

9. Suponga que las soluciones de una ecuación Ax b son todas
de la forma x x3u p, donde

Encuentre los puntos v1 y v2 tales que el conjunto solución de
Ax b sea aff{v1, v2}.
Get 8.1.9 exercise solution

10. Suponga que las soluciones de una ecuación Ax b son todas
de la forma x x3u p, donde

Obtenga puntos v1 y v2 tales que el conjunto solución de
Ax b sea aff{v1, v2}.
Get 8.1.10 exercise solution

En los ejercicios 11 y 12, marque cada enunciado como verdadero
o falso. Justifique sus respuestas.

11. a) El conjunto de todas las combinaciones afines de puntos en
un conjunto S se denomina envolvente afín de S.
b) Si {b1,…, bk} es un subconjunto linealmente independiente
de n y si p es una combinación lineal de b1,…, bk, entonces
p es una combinación afín de b1,…, bk.
c) La envolvente afín de dos puntos distintos se llama recta.
d) Un plano afín es un subespacio.
e) El plano en 3 es un hiperplano.
Get 8.1.11 exercise solution

12. a) Si S {x}, entonces aff S es el conjunto vacío.
b) Un conjunto es afín si y solo si contiene su envolvente afín.
c) Un plano afín de dimensión 1 se llama recta.
d) Un plano afín de dimensión 2 se llama hiperplano.
Get 8.1.12 exercise solution

13. Suponga que {v1, v2, v3} es una base para 3. Demuestre que
Gen {v2 v1, v3 v1} es un plano en 3. [Sugerencia: Piense
qué se puede decir sobre u y v cuando Gen {u, v} es un plano].
Get 8.1.13 exercise solution

14. Demuestre que si {v1, v2, v3} es una base para 3, entonces
aff {v1, v2, v3} es el plano a través de v1, v2 y v3.
Get 8.1.14 exercise solution

15. Sea A una matriz de m n y, si b está en m, demuestre que el
conjunto S de todas las soluciones de Ax b es un subconjunto
afín de Rn.
Get 8.1.15 exercise solution

16. Considere que v H n y k H R. Demuestre que S {x H n :
x·v k} es un subconjunto afín de n.
Get 8.1.16 exercise solution

17. Seleccione un conjunto S de tres puntos tales que aff S sea el
plano en 3 cuya ecuación es x3 5. Justifique su trabajo.
Get 8.1.17 exercise solution

18. Seleccione un conjunto S de cuatro puntos distintos en 3
tal que aff S sea el plano 2x1 x2 3x3 12. Justifique su
trabajo.
Get 8.1.18 exercise solution

19. Sea S un subconjunto afín de n, y suponga que f : n S m
es una transformación lineal, y que f (S) denota el conjunto de
imágenes {f (x): x H S}. Demuestre que f (S) es un subconjunto
afín de m.
Get 8.1.19 exercise solution

20. Sean f : n S m una transformación lineal, T un subconjunto
afín de Rm, y S {x H n : f (x) H T}. Demuestre que S
es un subconjunto afín de Rn.
Get 8.1.20 exercise solution

En los ejercicios 21 a 26, demuestre el enunciado sobre subconjuntos
A y B de n, o dé el ejemplo requerido en 2. Una demostración para
un ejercicio puede utilizar los resultados obtenidos en los ejercicios
anteriores (así como los teoremas disponibles en el libro).

21. Si A ( B y B es afín, entonces aff A ( B.
Get 8.1.21 exercise solution

22. Si A ( B, entonces aff A ( aff B.
Get 8.1.22 exercise solution

23. [(aff A) x (aff B)] ( aff (A x B). [Sugerencia: Para demostrar
que D x E ( F, demuestre que D ( F y E ( F].
Get 8.1.23 exercise solution

24. Encuentre un ejemplo en 2 para demostrar que la igualdad
no necesariamente es válida en el enunciado del ejercicio 23.
[Sugerencia: Considere los conjuntos A y B, cada uno los cuales
solamente contiene uno o dos puntos].
Get 8.1.24 exercise solution

25. aff (A y B) ( (aff A y aff B)
Get 8.1.25 exercise solution

26. Encuentre un ejemplo en 2 para demostrar que la igualdad no
necesita ser válida en el enunciado del ejercicio 25.
Get 8.1.26 exercise solution

Linear Algebra - David Lay - 4ed Solutions - Chapter 7. Section 7.5 Solutions

Get 7.5.1 exercise solution

Get 7.5.2 exercise solution

Get 7.5.3 exercise solution

Get 7.5.4 exercise solution

Get 7.5.5 exercise solution

Get 7.5.6 exercise solution

Get 7.5.7 exercise solution

Get 7.5.8 exercise solution

Get 7.5.9 exercise solution

Get 7.5.10 exercise solution

Get 7.5.11 exercise solution

Get 7.5.12 exercise solution

Get 7.5.13 exercise solution